Сою́зною (приє́днаною ) до матриці A матриця створена з алгебраїчних доповнень для відповідних елементів первинної матриці, і транспонована по тому.
A
∗
=
(
A
11
A
21
⋯
A
j
1
A
12
A
22
⋯
A
j
2
⋮
⋮
⋱
⋮
A
1
i
A
2
i
⋯
A
j
i
)
{\displaystyle {A}^{*}={\begin{pmatrix}{A}_{11}&{A}_{21}&\cdots &{A}_{j1}\\{A}_{12}&{A}_{22}&\cdots &{A}_{j2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{A}_{1i}&{A}_{2i}&\cdots &{A}_{ji}\\\end{pmatrix}}}
де
A
i
j
{\displaystyle A_{ij}}
алгебраїчне доповнення елемента
a
i
j
{\displaystyle a_{ij}}
A
{\displaystyle A}
Позначення
ред.
Союзну матрицю до матриці
A
{\displaystyle A}
A
~
,
A
~
T
,
A
∗
{\displaystyle {\tilde {A}},{\tilde {A}}^{T},A^{*}}
Нехай
3
×
3
{\displaystyle 3\times 3}
A
=
(
1
2
3
4
5
6
7
8
9
)
{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}}
Її союзна матриця має вигляд:
A
∗
=
(
+
|
5
6
8
9
|
−
|
2
3
8
9
|
+
|
2
3
5
6
|
−
|
4
6
7
9
|
+
|
1
3
7
9
|
−
|
1
3
4
6
|
+
|
4
5
7
8
|
−
|
1
2
7
8
|
+
|
1
2
4
5
|
)
=
(
−
3
6
−
3
6
−
12
6
−
3
6
−
3
)
{\displaystyle A^{*}={\begin{pmatrix}+\left|{\begin{matrix}5&6\\8&9\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}2&3\\8&9\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}2&3\\5&6\end{matrix}}\right|\\&&\\-\left|{\begin{matrix}4&6\\7&9\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}1&3\\7&9\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}1&3\\4&6\end{matrix}}\right|\\&&\\+\left|{\begin{matrix}4&5\\7&8\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}1&2\\7&8\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}}\right|\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-3&6&-3\\6&-12&6\\-3&6&-3\end{pmatrix}}}
Властивості
ред.
A
A
∗
=
A
∗
A
=
det
(
A
)
I
{\displaystyle A\,A^{*}=A^{*}\,A=\det(A)\,I}
Як наслідок
A
−
1
=
1
det
(
A
)
A
∗
{\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{\det(A)}}\,A^{*}\,}
I
∗
=
I
{\displaystyle I^{*}=I\,}
(
A
B
)
∗
=
B
∗
A
∗
{\displaystyle (AB)^{*}=B^{*}\,A^{*}\,}
для всіх n ×n матриць A і B .
(
A
T
)
∗
=
(
A
∗
)
T
{\displaystyle (A^{T})^{*}=(A^{*})^{T}\,}
det
(
A
∗
)
=
det
(
A
)
n
−
1
{\displaystyle \det {\big (}A^{*}{\big )}=\det(A)^{n-1}\,}
A
∗
=
q
(
A
)
=
−
(
p
1
I
+
p
2
A
+
p
3
A
2
+
⋯
+
p
n
A
n
−
1
)
{\displaystyle A^{*}=q(A)=-(p_{1}I+p_{2}A+p_{3}A^{2}+\cdots +p_{n}A^{n-1})}
де
p
j
{\displaystyle p_{j}}
p (t ),
p
(
t
)
=
p
0
+
p
1
t
+
p
2
t
2
+
⋯
p
n
t
n
.
{\displaystyle p(t)=p_{0}+p_{1}t+p_{2}t^{2}+\cdots p_{n}t^{n}.}
Див. також
ред.
