Псевдообернена матриця
Псевдообернена матриця — узагальнення оберненої матриці в математиці, зокрема, в лінійній алгебрі.
Матриця, псевдообернена до матриці позначається як .
Найвідомішим є псевдообернення Мура-Пенроуза, яке було незалежно описано Е. Г. Муром[en] в 1920 і Роджером Пенроузом в 1955.
Раніше, в 1903 році, концепцію псевдообернених інтегруючих операторів представив Фредгольм.
Псевдообернена матриця застосовується для знаходження найкращого наближення (методом найменших квадратів) розв'язку СЛАР.
Визначення
ред.Означення Мура
ред.називається псевдооберненою матрицею до матриці , якщо вона задовольняє такі умови:
- ( чи не обов'язково дорівнюватимуть одиничній матриці);
- (це означає, що — ермітова матриця);
- ( — також ермітова матриця);
де — ермітово-спряжена матриця до матриці .
Визначення Мура-Пенроуза через граничний перехід
ред.Ці границі існують, навіть якщо і не комутують.
Властивості
ред.- Псевдообернена матриця завжди існує і вона єдина.
- Псевдообернення нульової матриці дорівнює її транспонуванню.
- Псевдообернення є оборотним до самого себе:
- .
- Псевдообернення комутує з транспонуванням, спряженням і ермітовим спряженням:
- Ранг матриці дорівнює рангу її псевдооберненої:
- Псевдообернення добутку матриці на скаляр дорівнює добутку матриці на обернене число :
- .
- Якщо вже відома матриця чи матриця , то їх можна використати для обчислення :
- .
- Матриці — є ортогонально-проєкційними матрицями.
- Якщо матриця утворена з матриці за допомогою вставки ще одного нульового рядка/стовпця в і-ту позицію,
- то буде утворюватись з додаванням нульового стовпця/рядка в і-ту позицію.
- Якщо рядок/стовпець в попередній процедурі не є нульовим , то існує формула Гревіля для вираження через
Часткові випадки
ред.Ортонормовані стовпці чи рядки
ред.- Якщо в матриці ортонормовані стовпці ( ), або рядки ( ), то:
- .
Повний ранг
ред.- Якщо стовпці матриці лінійно незалежні, тоді матриця має повний ранг, а отже є оборотною. Тоді:
Отже , звідки слідує, що — ліва обернена матриця для A.
- Якщо рядки матриці лінійно незалежні, тоді матриця має повний ранг, а отже є оборотною. Тоді:
Отже , звідки слідує, що — права обернена матриця для A.
- Якщо і стовпці і рядки лінійно незалежні (що вірно для квадратних невироджених матриць), тоді:
Ці часткові випадки еквівалентні прибиранню доданка з формули визначення псевдообернення через граничний перехід.
Псевдообернення добутку
ред.Якщо матриці і такі, що добуток визначений, а також:
- або A має ортонормовані стовпці ( ),
- або B має ортонормовані рядки ( ),
- або стовпці лінійно незалежні( ) і рядки лінійно незалежні( ).
Тоді:
- .
Доводиться прямою підстановкою в визначення.
Скаляри і вектори
ред.Псевдообернення можна визначити для скалярів і векторів, якщо трактувати їх як матриці:
- Псевдообернення скаляра є скаляр
- Псевдообернення вектора є вектор
Дані трактування задовільняють визначення псевдообернення.
Обчислення
ред.За допомогою A=BC розкладу
ред.Нехай r — ранг матриці A розміру . Тоді A може бути представлена як , де B — матриця розміру , C — матриця розміру . Тоді
чи
- де — матриця меншого розміру .
За допомогою QR розкладу
ред.Матрицю A представимо у вигляді , де Q — унітарна матриця, , і R — верхня трикутна матриця. Тоді
- ,
…
За допомогою SVD розкладу
ред.Якщо — сингулярне представлення матриці A, тоді
Для діагональної матриці, такої як , псевдообернена матриця обчислюється заміною всіх ненульових значень діагональних елементів на обернені.
За допомогою мінорів
ред.Нехай k — ранг матриці A розміру .
Позначимо через матрицю складену з k лінійно незалежних стовпців матриці A,
через позначимо матрицю з k лінійно незалежних рядків матриці A,
через матрицю з елементів на перетині з .
Тоді
Застосування до СЛАР
ред.- Система рівнянь може не мати точних розв'язків, але можна знайти приблизні розв'язки — такі при яких мінімізується Це розв'язок методом найменших квадратів.
- Загальний розв'язок системи є сумою часткового розв'язку цієї системи та загального розв'язку однорідної системи
- За визначенням, загальний розв'язок системи — це ядро лінійного оператора :
де:
- (проектор на );
- — довільний вектор тієї ж розмірності що і
- Частковим розв'язком неоднорідної системи є він ортогональний до і тому має найменшу норму серед всіх розв'язків.
- Загальний розв'язок
єдиний розв'язок
множина розв'язків
точні розв'язки є
тільки приблизні розв'язки
- Відстань від довільної точки до множини розв'язків рівна:
де:
- (проектор ортогональний до ).
Джерела
ред.- Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 400+ с.(укр.)
- Ланкастер П. . Теория матриц. — 2. — Москва : Наука, 1982. — 272 с.(рос.)
- Р.Хорн , Ч.Джонсон . Матричный анализ. — М: : Мир, 1989. — 653 с.(рос.)
- Gene H. Golub , Charles F. Van Loan . Matrix Computations. — 4. — М: : The Johns Hopkins University Press, 2013. — 756 с.(англ.)
- Adi Ben-Israel, Thomas N.E. Greville (2003). Generalized Inverses. Theory and Applications (вид. друге). Springer. с. 436 с.