Псевдообернена матриця

Псевдообернена матриця — узагальнення оберненої матриці в математиці, зокрема, в лінійній алгебрі.

Матриця, псевдообернена до матриці позначається як .

Найвідомішим є псевдообернення Мура-Пенроуза, яке було незалежно описано Е. Х. Муром (Moore) в 1920 і Роджером Пенроузом в 1955.

Раніше, в 1903 році, концепцію псевдообернених інтегруючих операторів представив Фредгольм.

Псевдообернена матриця застосовується для знаходження найкращого наближення (методом найменших квадратів) розв'язку СЛАР.

ВизначенняРедагувати

Означення МураРедагувати

  називається псевдооберненою матрицею до матриці  , якщо вона задовольняє такі умови:

  1.               (  чи   не обов'язково дорівнюватимуть одиничній матриці);
  2.  
  3.         (це означає, що   — ермітова матриця);
  4.         (  — також ермітова матриця);

де   — ермітово-спряжена матриця до матриці  .


Визначення Мура-Пенроуза через граничний перехідРедагувати

 

Ці границі існують, навіть якщо   і   не комутують.

ВластивостіРедагувати

 .
 
 
  • Псевдообернення добутку матриці   на скаляр   дорівнює добутку матриці   на обернене число  :
 .
  • Якщо вже відома матриця   чи матриця  , то їх можна використати для обчислення  :
 
 .
  • Матриці   — є ортогонально-проекційними матрицями.
  • Якщо матриця   утворена з матриці   за допомогою вставки ще одного нульового рядка/стовпця в і-ту позицію,
то   буде утворюватись з   додаванням нульового стовпця/рядка в і-ту позицію.
  • Якщо рядок/стовпець в попередній процедурі не є нульовим  , то існує формула Гревіля для вираження   через  

Часткові випадкиРедагувати

Ортонормовані стовпці чи рядкиРедагувати

  • Якщо в матриці   ортонормовані стовпці ( ), або рядки ( ), то:
 .

Повний рангРедагувати

  • Якщо стовпці матриці   лінійно незалежні, тоді матриця   має повний ранг, а отже є оборотною. Тоді:
 

Отже  , звідки слідує, що   — ліва обернена матриця для A.

  • Якщо рядки матриці   лінійно незалежні, тоді матриця   має повний ранг, а отже є оборотною. Тоді:
 

Отже  , звідки слідує, що   — права обернена матриця для A.

  • Якщо і стовпці і рядки лінійно незалежні (що вірно для квадратних невироджених матриць), тоді:
 

Ці часткові випадки еквівалентні прибиранню доданка   з формули визначення псевдообернення через граничний перехід.

Псевдообернення добуткуРедагувати

Якщо матриці   і   такі, що добуток   визначений, а також:

  • або A має ортонормовані стовпці ( ),
  • або B має ортонормовані рядки ( ),
  • або стовпці   лінійно незалежні( ) і рядки   лінійно незалежні( ).

Тоді:

 .

Доводиться прямою підстановкою в визначення.

Скаляри і векториРедагувати

Псевдообернення можна визначити для скалярів і векторів, якщо трактувати їх як матриці:

  • Псевдообернення скаляра   є скаляр
 
  • Псевдообернення вектора   є вектор
 

Дані трактування задовільняють визначення псевдообернення.

ОбчисленняРедагувати

За допомогою A=BC розкладуРедагувати

Нехай r — ранг матриці A розміру  . Тоді A може бути представлена як  , де B — матриця розміру  , C — матриця розміру  . Тоді

  •  

чи

  •  
де   — матриця меншого розміру  .

За допомогою QR розкладуРедагувати

Матрицю A представимо у вигляді  , де Q — унітарна матриця,  , і R — верхня трикутна матриця. Тоді

 ,
 

За допомогою SVD розкладуРедагувати

Якщо   — сингулярне представлення матриці A, тоді

 

Для діагональної матриці, такої як  , псевдообернена матриця обчислюється заміною всіх ненульових значень діагональних елементів на обернені.

За допомогою мінорівРедагувати

Нехай k — ранг матриці A розміру  .

Позначимо через   матрицю складену з k лінійно незалежних стовпців матриці A,
через   позначимо матрицю з k лінійно незалежних рядків матриці A,
через   матрицю з елементів на перетині   з  .

Тоді

 

Застосування до СЛАРРедагувати

  • Система рівнянь   може не мати точних розв'язків, але можна знайти приблизні розв'язки — такі   при яких мінімізується   Це розв'язок методом найменших квадратів.
  • Загальний розв'язок системи   є сумою часткового розв'язку цієї системи та загального розв'язку однорідної системи  
 

де:

       (проектор на  );
  — довільний вектор тієї ж розмірності що і  
  • Частковим розв'язком неоднорідної системи є   він ортогональний до   і тому має найменшу норму серед всіх розв'язків.
  • Загальний розв'язок
  єдиний розв'язок
 
множина розв'язків
 
точні розв'язки є
 
   
тільки приблизні розв'язки
 
  • Відстань від довільної точки   до множини розв'язків   рівна:
 

де:

       (проектор ортогональний до  ).

ДжерелаРедагувати

  • Гантмахер Ф. Р. (1967). III. Теория матриц (вид. друге). Москва: Наука. с. 576 с. 
  • Adi Ben-Israel, Thomas N.E. Greville (2003). Generalized Inverses. Theory and Applications (вид. друге). Springer. с. 436 с.