Ермітова матриця

Немає перевірених версій цієї сторінки; ймовірно, її ще не перевіряли на відповідність правилам проекту.

Квадратна матриця $\ A$ з комплексними елементами називається ермітовою (на честь Шарля Ерміта) чи само-спряженою, якщо вона дорівнює своїй ермітово-спряженій матриці, тобто

\ A=A^{*}

(у фізичній нотації:

\ A=A^{\dagger }

).

Це еквівалентно до системи рівнянь $a_{ij}={\overline {a_{ji}}}$ для елементів матриці $\ A.$

Властивості

Ермітова матриця є частковим випадком нормальної матриці.
Діагональні елементи ермітової матриці є дійсними числами.
Визначник ермітової матриці — дійсне число.
Власні значення ермітової матриці є дійсними числами.
Обернена матриця до ермітової, якщо існує, то є ермітовою матрицею.
Сума ермітових матриць є ермітовою матрицею.
Добуток ермітових матриць A і B є ермітовою матрицею тоді і тільки тоді, коли вони є переставними ( $AB=BA$ ).
Матриця ермітова оператора в ермітовому просторі відносно будь-якого ортонормального базису є ермітовою.
Жорданова форма ермітової матриці діагональна.

Частковими випадками ермітових матриць є:

Довільну квадратну матрицю можна представити як суму деякої ермітової та антиермітової матриць:

A=H_{1}+iH_{2},\qquad H_{1}={\frac {A+A^{*}}{2}},\quad H_{2}={\frac {A-A^{*}}{2i}},

де:

\ H_{1}^{*}=H_{1},\;H_{2}^{*}=H_{2}

— ермітові матриці,

\ {(iH_{2})}^{*}=-(iH_{2})

— антиермітова матриця.

Також справедливо, що матриця $\ A$ є нормальною тоді і тільки тоді, коли матриці $\ H_{1},H_{2}$ переставні:

A^{*}A=AA^{*}\;\iff \;H_{1}H_{2}=H_{2}H_{1}.

Вищенаведена властивість вводить аналогію між комплексними числами та нормальними матрицями.

Отже, якщо розглядати нормальні матриці як узагальнення комплексних чисел, то:

ермітові матриці в такому випадку відіграватимуть роль дійсних чисел;
антиермітові — чисто уявних комплексних чисел;
і вищенаведені часткові випадки ермітових матриць будуть аналогом додатних, невід'ємних і від'ємних дійсних чисел.

$A={\begin{bmatrix}1&2-3i\\2+3i&4\end{bmatrix}}$ — ермітова матриця $2\times 2$ тому, що

$A^{*}={\begin{bmatrix}1&2-3i\\2+3i&4\end{bmatrix}}=A,$

або $1={\bar {1}},\quad 4={\bar {4}},\quad 2-3i={\overline {2+3i}}.$