Відкрити головне меню

Розклад матриці за допомогою власних векторівРедагувати

Матриця   є нормальною тоді і тільки тоді, коли існує унітарна матриця   та діагональна матриця  , що виконується:

 

Ця формула називається розкладом матриці за її власними векторами, тому що для матриць   та   справедливі такі властивості:

ВластивостіРедагувати

  • Якщо   — нормальна матриця, то в матриць   власні вектори будуть однаковими, а власні значеннякомплексно-спряженими:
 
  • Для довільної квадратної матриці   існує полярний розклад  .
Матриця   буде нормальною тоді і тільки тоді, коли   будуть переставними:
 
  • Довільну квадратну матрицю   можна представити через дві ермітові матриці  .
Матриця   буде нормальною тоді і тільки тоді, коли матриці   будуть переставними:
 
  • Нормальні матриці   є переставними тоді і тільки тоді, коли всі їх власні вектори є спільними:
 
ця властивість узагальнюється на довільну кількість попарно-переставних нормальних матриць.
  • Наслідок з попередньої властивості: якщо матриці   є нормальними та переставними, тоді матриці:
  — теж будуть нормальними та переставними.

Часткові випадкиРедагувати

Всі комплексні унітарні, ермітові косоермітові матриці є нормальними матрицями. Також всі дійсні ортогональні, симетричні кососиметричні матриці є нормальними матрицями.

Зв'язок з комплексними числамиРедагувати

Якщо вважати нормальні матриці узагальненням комлексних чисел, то в такому випадку:

ПрикладиРедагувати

Матриця   є нормальною, оскільки  

Але вона не є ні унітарною, ні ермітовою, ні косо-ермітовою.

Якщо матриця є трикутною і нормальною, тоді вона — діагональна.

Дивись такожРедагувати

ДжерелаРедагувати