Полярний розклад матриці

\ A=PU=UP_{1},

де

\ P,P_{1}

— невід'ємноозначені матриці,

\ U

— унітарна матриця.

Матриця $\ A$ буде нормальною тоді і тільки тоді, коли $\ P,U$ будуть переставними (що рівнозначно до $\ P=P_{1}$ ).

\ A=W\Sigma V^{*}

Знаходження модуля

Оскільки:

\ AA^{*}=PUU^{*}P=P^{2}

\ A^{*}A=P_{1}UU^{*}P_{1}=P_{1}^{2}

матриці $P,P_{1}\!$ однозначно визначаються як:

\ P={\sqrt {AA^{*}}}=W\Sigma W^{*}

\ P_{1}={\sqrt {A^{*}A}}=V\Sigma V^{*}

Якщо матриця $\ A$ — нормальна, то $\ A^{*}A=AA^{*}$ за визначенням.

Використавши $\ U=P^{-1}A$ отримаємо $\ U=WV^{*}.$

Використавши $\ U=AP_{1}^{-1}$ знову ж отримаємо $\ U=WV^{*}.$

Якщо матриця $\ A$ — нормальна, тоді матриці $\ P,U,\Sigma$ — є переставними та нормальними, отже одночасно діагоналізуємими:

\exists \;Q,\Sigma ,\Phi :\quad Q\Sigma Q^{*}=P,\quad Q\Phi Q^{*}=U,

де

\ Q

— унітарна матриця,

\ \Sigma

— невід'ємноозначена діагональна матриця,

\ \Phi

— унітарна діагональна матриця.

Тоді

A=\ (Q\Sigma Q^{*})(Q\Phi Q^{*})=Q(\Sigma \Phi )Q^{*}