Полярний розклад матриці

Квадратна матриця $A\!$ з комплексними елементами може бути представлена як добуток унітарної матриці та невід'ємної ермітової матриці:

$\ A=PU=UP_{1},$

де

$\ P,P_{1}$ — невід'ємноозначені матриці,

$\ U$ — унітарна матриця.

Матриця $\ A$ буде нормальною тоді і тільки тоді, коли $\ P,U$ будуть переставними (що рівнозначно до $\ P=P_{1}$).

Для доведення використаємо сингулярний розклад матриці:

$\ A=W\Sigma V^{*}$

Знаходження модуля

Оскільки:

$\ AA^{*}=PUU^{*}P=P^{2}$

$\ A^{*}A=P_{1}UU^{*}P_{1}=P_{1}^{2}$

матриці $P,P_{1}\!$ однозначно визначаються як:

$\ P={\sqrt {AA^{*}}}=W\Sigma W^{*}$

$\ P_{1}={\sqrt {A^{*}A}}=V\Sigma V^{*}$

Якщо матриця $\ A$ — нормальна, то $\ A^{*}A=AA^{*}$ за визначенням.

Знаходження повороту

Використавши $\ U=P^{-1}A$ отримаємо $\ U=WV^{*}.$

Використавши $\ U=AP_{1}^{-1}$ знову ж отримаємо $\ U=WV^{*}.$

Полярний розклад нормальної матриці

Якщо матриця $\ A$ — нормальна, тоді матриці $\ P,U,\Sigma$ — є переставними та нормальними, отже одночасно діагоналізуємими:

$\exists \;Q,\Sigma ,\Phi :\quad Q\Sigma Q^{*}=P,\quad Q\Phi Q^{*}=U,$

де

$\ Q$ — унітарна матриця,

$\ \Sigma$ — невід'ємноозначена діагональна матриця,

$\ \Phi$ — унітарна діагональна матриця.

Тоді

$A=\ (Q\Sigma Q^{*})(Q\Phi Q^{*})=Q(\Sigma \Phi )Q^{*}$ — власний розклад матриці.

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — ISBN 5-9221-0524-8.(рос.)