Полярний розклад матриці
Квадратна матриця з комплексними елементами може бути представлена як добуток унітарної матриці та невід'ємної ермітової матриці:
де
- — невід'ємноозначені матриці,
- — унітарна матриця.
Матриця буде нормальною тоді і тільки тоді, коли будуть переставними (що рівнозначно до ).
Для доведення використаємо сингулярний розклад матриці:
Знаходження модуляРедагувати
Оскільки:
матриці однозначно визначаються як:
Якщо матриця — нормальна, то за визначенням.
Знаходження поворотуРедагувати
Використавши отримаємо
Використавши знову ж отримаємо
Полярний розклад нормальної матриціРедагувати
Якщо матриця — нормальна, тоді матриці — є переставними та нормальними, отже одночасно діагоналізуємими:
де
- — унітарна матриця,
- — невід'ємноозначена діагональна матриця,
- — унітарна діагональна матриця.
Тоді
ДжерелаРедагувати
- Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — ISBN 5-9221-0524-8.(рос.)