Власний розклад матриці

У лінійній алгебрі, власний розклад або спектральний розклад — це розклад матриці в канонічну форму, таким чином ми представляємо матрицю в термінах її власних значень і власних векторів. Тільки діагоналізовні матриці можна так розкласти.

Фундаментальна теорія власних векторів і значень матриці

Вектор (ненульовий) v розмірності N є власним вектором квадратної (N×N) матриці A тоді і тільки тоді, коли він задовольняє лінійному рівнянню

$\mathbf {A} \mathbf {v} =\lambda \mathbf {v}$

де λ це скаляр, термін власне значення стосується v. Тобто, власні вектори це такі вектори, які лінійне перетворення A лише розтягує або скорочує і коефіцієнт розтягування/скорочення і є власним значенням.

Звідси походить рівняння для власних значень

$p\left(\lambda \right):=\det \left(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} \right)=0.\!\$

Ми звемо p(λ) характеристичним многочленом, а рівняння називають характеристичним рівнянням, воно являє собою многочленом порядку N з невідомою λ. Це рівняння матиме N_λ відмінних розв'язків, де 1 ≤ N_λ ≤ N . Множину розв'язків, тобто власних значень, іноді звуть спектром A.

Ми можемо розкласти p на множники

$p\left(\lambda \right)=(\lambda -\lambda _{1})^{n_{1}}(\lambda -\lambda _{2})^{n_{2}}\cdots (\lambda -\lambda _{k})^{n_{k}}=0.\!\$

Ціле n_i називається алгебричною кратністю власного значення λ_i. Сума всіх алгебраїчним кратностей дорівнює N:

$\sum \limits _{i=1}^{N_{\lambda }}{n_{i}}=N.$

Для кожного власного значення, λ_i, ми маємо особливе рівняння

$\left(\mathbf {A} -\lambda _{i}\mathbf {I} \right)\mathbf {v} =0.\!\$

Всього буде 1 ≤ m_i ≤ n_i лінійно незалежних розв'зяків для кожного власного значення. m_i розв'язків будуть власними векторами пов'язаними з власним значенням λ_i. Ціле m_i називають геометричною кратністю λ_i. Важливо пам'ятати, що алгебраїчне n_i і геометричне m_i кратні можуть бути однаковими і різними, але завжди m_i ≤ n_i. Найпростіший випадок це коли m_i = n_i = 1. Загальна кількість лінійно незалежних власних векторів, N_v, можна дізнатись додавши геометричні кратності

$\sum \limits _{i=1}^{N_{\lambda }}{m_{i}}=N_{\mathbf {v} }.$

Власні вектори можна проіндексувати по їх власним значенням, тобто із використанням подвійного індексування, з v_i,j, де j^й власний вектор i^го власного значення. Також це можна зробити з одним індексом v_k, з k = 1, 2, ..., N_v.

Власний розклад матриці

Нехай A буде квадратною (N×N) матрицею з N лінійно незалежними власними векторами, $q_{i}\,\,(i=1,\dots ,N).$ Тоді A можна розкласти як

$\mathbf {A} =\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } \mathbf {Q} ^{-1}$

де Q це квадратна (N×N) матриця чиї i-ті стовпчики є власними векторами $q_{i}$ A і Λ це діагональна матриця чиї діагональні елементи є відповідними власними значеннями, тобто, $\Lambda _{ii}=\lambda _{i}$. Зауважте, що тільки діагоноалізовні матриці можна розкласти таким чином. Наприклад, матрицю, що на має N (2) незалежних власних векторів ${\begin{pmatrix}1&1\\0&1\\\end{pmatrix}}$ не можна діагоналізувати.

Зазвичай власні вектори $q_{i}\,\,(i=1,\dots ,N)$ нормалізують, але в цьому немає потреби. Ненормалізований набір власних векторів, $v_{i}\,\,(i=1,\dots ,N),$ також можна використовувати як стовпчики для Q. Це можна зрозуміти, зауваживши, що величина власних векторів у Q зникає в розкладі завдяки присутності Q⁻¹.

Приклад

Якщо за приклад для декомпозиції через множення на несингулярну матрицю $\mathbf {B} ={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}},[a,b,c,d]\in \mathbb {R}$ в діагональну матрицю взяти дійсну матрицю $\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&0\\1&3\\\end{bmatrix}}$.

Тоді

${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x&0\\0&y\\\end{bmatrix}}$, для деякої дійсної діагональної матриці ${\begin{bmatrix}x&0\\0&y\\\end{bmatrix}}$.

Перенесемо $\mathbf {B}$ на правий бік:

${\begin{bmatrix}1&0\\1&3\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x&0\\0&y\\\end{bmatrix}}$

Попереднє рівняння можна рознести в систему з двох рівнянь:

${\begin{cases}{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}ax\\cx\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}by\\dy\end{bmatrix}}\end{cases}}$

Винесемо власні значення $x$ і $y$:

${\begin{cases}{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}}=x{\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}=y{\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}\end{cases}}$

Поклавши ${\overrightarrow {a}}={\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}},{\overrightarrow {b}}={\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}$, отримаємо два векторних рівняння:

${\begin{cases}A{\overrightarrow {a}}=x{\overrightarrow {a}}\\A{\overrightarrow {b}}=y{\overrightarrow {b}}\end{cases}}$

І це можна представити як одне векторне рівняння, яке має два розв'язки як власні значення:

$\mathbf {A} \mathbf {u} =\lambda \mathbf {u}$

де $\lambda$ представляє два власних значення $x$ і $y$, $\mathbf {u}$ представляє вектори ${\overrightarrow {a}}$ і ${\overrightarrow {b}}$.

Перенесемо $\lambda \mathbf {u}$ ліворуч і винесемо за дужки $\mathbf {u}$

$(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )\mathbf {u} =0$

Через те, що $\mathbf {B}$ несингулярна, тут важливо, що $\mathbf {u}$ не нуль,

$(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )=\mathbf {0}$

Розглядаючи визначник $(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )$,

${\begin{bmatrix}1-\lambda &0\\1&3-\lambda \end{bmatrix}}=0$

Отже

$(1-\lambda )(3-\lambda )=0$

Отримавши $\lambda =1$ і $\lambda =3$ як розв'язки власних значень для матриці $\mathbf {A}$, маємо в результаті діагональну матрицю ${\begin{bmatrix}1&0\\0&3\end{bmatrix}}$ власного розкладу $\mathbf {A}$.

Впишемо розв'язки в систему рівнянь

${\begin{cases}{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}}=1{\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}=3{\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}\end{cases}}$

Розв'язавши рівняння ми маємо $a=-2c,a\in \mathbb {R}$ and $b=0,b\in \mathbb {R}$

Отже матриця $\mathbf {B}$ потрібна для власного розкладу матриці $\mathbf {A}$ є ${\begin{bmatrix}-2c&0\\c&d\end{bmatrix}},[c,d]\in \mathbb {R}$. тобто :

${\begin{bmatrix}-2c&0\\c&d\\\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-2c&0\\c&d\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&3\\\end{bmatrix}},[c,d]\in \mathbb {R}$

Обернена матриця через власний розклад

Якщо матриця A має власний розклад і якщо жодне з її власних значень не дорівнює нулю, тоді A — несингулярна, тобто моє обернену і обернена задається так

$\mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } ^{-1}\mathbf {Q} ^{-1}$

Далі більше, через те, що Λ діагональна, її обернену дуже легко обчислити:

$\left[\Lambda ^{-1}\right]_{ii}={\frac {1}{\lambda _{i}}}$

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 400+ с.(укр.)
• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — Москва : Наука, 1998. — 320 с. — ISBN 5791300158.(рос.)
• Weisstein, Eric W. Власний розклад матриці(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.