Власний розклад матриці

У лінійній алгебрі, власний розклад або спектральний розклад — це розклад матриці в канонічну форму, таким чином ми представляємо матрицю в термінах її власних значень і власних векторів. Тільки діагоналізовні матриці можна так розкласти.

Зміст

Фундаментальна теорія власних векторів і значень матриціРедагувати

Докладніше: Власний вектор

Вектор (ненульовий) v розмірності N є власним вектором квадратної (N×N) матриці A тоді і тільки тоді, коли він задовольняє лінійному рівнянню

 

де λ це скаляр, термін власне значення стосується v. Тобто, власні вектори це такі вектори, які лінійне перетворення A лише розтягує або скорочує і коефіцієнт розтягування/скорочення і є власним значенням.

Звідси походить рівняння для власних значень

 

Ми звемо p(λ) характеристичним многочленом, а рівняння називають характеристичним рівнянням, воно являє собою многочленом порядку N з невідомою λ. Це рівняння матиме Nλ відмінних розв'язків, де 1 ≤ NλN . Множину розв'язків, тобто власних значень, іноді звуть спектром A.

Ми можемо розкласти p на множники

 

Ціле ni називається алгебричною кратністю власного значення λi. Сума всіх алгебраїчним кратностей дорівнює N:

 

Для кожного власного значення, λi, ми маємо особливе рівняння

 

Всього буде 1 ≤ mini лінійно незалежних розв'зяків для кожного власного значення. mi розв'язків будуть власними векторами пов'язаними з власним значенням λi. Ціле mi називають геометричною кратністю λi. Важливо пам'ятати, що алгебраїчне ni і геометричне mi кратні можуть бути однаковими і різними, але завжди mini. Найпростіший випадок це коли mi = ni = 1. Загальна кількість лінійно незалежних власних векторів, Nv, можна дізнатись додавши геометричні кратності

 

Власні вектори можна проіндексувати по їх власним значенням, тобто із використанням подвійного індексування, з vi,j, де jй власний вектор iго власного значення. Також це можна зробити з одним індексом vk, з k = 1, 2, ..., Nv.

Власний розклад матриціРедагувати

Нехай A буде квадратною (N×N) матрицею з N лінійно незалежними власними векторами,   Тоді A можна розкласти як

 

де Q це квадратна (N×N) матриця чиї i-ті стовпчики є власними векторами   A і Λ це діагональна матриця чиї діагональні елементи є відповідними власними значеннями, тобто,  . Зауважте, що тільки діагоноалізовні матриці можна розкласти таким чином. Наприклад, матрицю, що на має N (2) незалежних власних векторів   не можна діагоналізувати.

Зазвичай власні вектори   нормалізують, але в цьому немає потреби. Ненормалізований набір власних векторів,   також можна використовувати як стовпчики для Q. Це можна зрозуміти, зауваживши, що величина власних векторів у Q зникає в розкладі завдяки присутності Q−1.

ПрикладРедагувати

Якщо за приклад для декомпозиції через множення на несингулярну матрицю   в діагональну матрицю взяти дійсну матрицю  .

Тоді

 , для деякої дійсної діагональної матриці  .

Перенесемо   на правий бік:

 

Попереднє рівняння можна рознести в систему з двох рівнянь:

 

Винесемо власні значення   і  :

 

Поклавши  , отримаємо два векторних рівняння:

 

І це можна представити як одне векторне рівняння, яке має два розв'язки як власні значення:

 

де   представляє два власних значення   і  ,   представляє вектори   і  .

Перенесемо   ліворуч і винесемо за дужки  

 

Через те, що   несингулярна, тут важливо, що   не нуль,

 

Розглядаючи визначник  ,

 

Отже

 

Отримавши   і   як розв'язки власних значень для матриці  , маємо в результаті діагональну матрицю   власного розкладу  .

Впишемо розв'язки в систему рівнянь

 

Розв'язавши рівняння ми маємо   and  

Отже матриця   потрібна для власного розкладу матриці   є  . тобто :

 

Обернена матриця через власний розкладРедагувати

Докладніше: Обернена матриця

Якщо матриця A має власний розклад і якщо жодне з її власних значень не дорівнює нулю, тоді A — несингулярна, тобто моє обернену і обернена задається так

 

Далі більше, через те, що Λ діагональна, її обернену дуже легко обчислити:

 

ПосиланняРедагувати

Weisstein, Eric W. Власний розклад матриці(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.