Спектральна теорема

Спектральна теорема — в лінійній алгебрі та функціональному аналізі, певні результати для лінійних операторів щодо їх діагоналізації.

В загальному випадку, спектральна теорема про комутативні C*-алгебри.

Нормальні оператори в Гільбертових просторах

Спектральна теорема застосовується до нормальних операторів в Гільбертових просторах.

Вона дає канонічну декомпозицію по власних підпросторах векторного простору в якому вона діє.

Якщо лінійний оператор $\ A$ діє в векторному просторі $\ V,$ тоді позначимо через:

$V_{\lambda }=\{\,v\in V:\;Av=\lambda v\,\}$ — власний підпростір, що відповідає власному значенню $\ \lambda$

$\ P_{\lambda }$ — ортогональний проєктор на $\ V_{\lambda }.$

Тоді:

• $V=V_{\lambda _{1}}\oplus \ldots \oplus V_{\lambda _{k}}$ — простір представляється як пряма сума власних підпросторів $\ V_{\lambda }$ (тобто, власні підпростори є ортогональними).
• $A=\lambda _{1}P_{\lambda _{1}}+\ldots +\lambda _{m}P_{\lambda _{m}}$ — лінійний оператор виражається через лінійну комбінацію ортогональних проєкторів.

Для простору нескінченної розмірності

$A=\int _{\sigma }\lambda P(d\lambda )$

де σ — спектр A, а P — ідемпотентний оператор.

Спектральна теорема є частковим випадком декомпозиції Шура та частковим випадком SVD.

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2025. — 757 с.(укр.)
• Гельфанд І. М. Лекції з лінійної алгебри. — 2025. — 248 с.(укр.)