Відкрити головне меню
Геометричне представлення та його спряженого на комплексній площині

Спряженими числами (також комплексно-спряженими числами) називаються два комплексні числа, які мають таку саму дійсну частину та протилежні за знаком уявні частини[1]. Наприклад, спряженими є числа 3 + 4i та 3 − 4i. Число спряжене до числа позначається . У загальному випадку, спряженим до числа

де та дійсні числа, є

Наприклад,

На комплексній площині спряжені числа представлені точками, симетричними відносно дійсної осі. У полярній системі координат спряжені числа мають вигляд та , що безпосередньо випливає з формули Ейлера.

Спряженими числами є корені квадратного рівняння з дійсними коефіцієнтами та від'ємним дискримінантом.

ВластивостіРедагувати

Для довільних комплексних чисел   та  :

  •  
  •  
  •   є дійсним числом
  •   для всіх цілих  
  •  
  •  
  •  , (тобто, спряження є інволюцією)
  •  , якщо z не дорівнює нулю. За допомогою цієї властивості обчислюють обернене комплексного числа заданого у прямокутних координатах.
  • Якщо   є голоморфною функцією, звуження якої на множину дійсних чисел є дійсною функцією, та визначено  , то
 
Зокрема:
  •  
  •  , якщо z не дорівнює нулю.
  • Якщо  поліном з дійсними коефіцієнтами і  , то також  . Отже, комплексні (не дійсні) корені таких поліномів завжди утворюють комплексно-спряжені пари.

Визначення координат числа та спряженняРедагувати

Прямокутні та полярні координати комплексного числа можуть бути визначені за допомогою формул:

  •  
  •  
  •  
  •   (якщо z не дорівнює нулю).

ПриміткиРедагувати

  1. Weisstein, Eric W. Complex Conjugates(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.