Інволюція (математика)

Інволюція (інволюційна функція) — в математиці, це функція, що є оберненою сама до себе.

Інволюційна функція $f:X\to X$ застосована двічі повертає нас в початкову точку.

Формально, це бієктивне відображення $f:X\mapsto X,$ що має властивість

$f(f(x))=x,\quad \forall x\in X.$

Властивості

• $\forall x:\qquad f^{-1}(x)=f(x).$
• $\forall x,\exists y:\ f(x)=y,\ f(y)=x.$

Перестановки

Перестановка $\ \tau$ є інволюцією, якщо $\tau \circ \tau =id$. Кожна інволюція є добутком транспозицій. Наприклад: ${\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8\\5&7&4&3&1&8&2&6\end{pmatrix}}=(1,5)(2,7)(3,4)(6,8)$

Інволюція в Евклідовій геометрії

• Інволюціями є всі симетрії (центральна, осьова) а також інверсія відносно кола.

Інволюція в лінійній алгебрі

В лінійній алгебрі інволюція — це лінійний оператор $\ T$, що має властивість $\ T^{2}=I.$

Інволюція пов'язана з ідемпотентними операціями:

• Якщо $\ a$ — ідемпотент, то $\ \pm (1-2a)$ є інволюціями.

• Якщо $\ b$ — інволюція, тоді ${\frac {1-b}{2}}$ та ${\frac {1+b}{2}}$ є ортогональними ідемпотентами.

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 703 с.(укр.)