Квадратне рівняння

Квадра́тне рівня́ння — алгебраїчне рівняння виду:

$ax^{2}+bx+c=0,$ де $a\neq 0$,

де x є невідомою змінною, а a, b, і c є сталими відомими числами, такими що a не дорівнює нулю 0. Якщо a = 0, тоді рівняння буде лінійним, а не квадратним рівнянням. Числа a, b, і c є коефіцієнтами рівняння, і аби розрізнити їх можна називати відповідно, квадратичним коефіцієнтом, лінійний коефіцієнтом і вільною сталою.

Квадратне рівняння можна розв'язати за допомогою процедури розкладання на множники, методу виділення квадрата, за допомогою побудови графіка функції, або з використанням наступної формули, що є загальним розв'язком цього рівняння:

$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.$

Рішення задачі, еквівалентної квадратному рівнянню були відомі ще в 2000 році до нашої ери.

Перші згадки

Стародавній Вавилон

Уже в другому тисячолітті до нашої ери вавилоняни знали, як розв'язувати квадратні рівняння. Розв'язання їх в Стародавньому Вавилоні було тісно пов'язане з практичними завданнями, в основному такими, як обчислення площі земельних ділянок, земельні роботи, пов'язані з військовими потребами; наявність цих знань також обумовлена розвитком математики та астрономії взагалі. Були відомі способи розв'язання як повних, так і неповних квадратних рівнянь.

Наведемо приклад квадратного рівняння, які розв'язувалися в Стародавньому Вавилоні, використовуючи сучасний алгебраїчний запис:

$x^{2}+x=3/4$

Правила розв'язування квадратних рівнянь багато в чому аналогічні сучасним, проте в вавилонських текстах не зафіксовано міркування, шляхом яких ці правила були отримані.

Загальні відомості

Квадратні рівняння є різновидом рівнянь другого степеня з однією змінною. Числа $\ a,b,c$ — його коефіцієнти, при чому $\ a$ також називається першим коефіцієнтом, $\ b$ — другим, $\ c$ — вільним членом. Будь-яке квадратне рівняння має

• або два різних дійсних корені,
• або два однакові дійсних корені (тобто, по суті, один),
• або взагалі не має дійсних коренів, а має два комплексні корені.

(Зазвичай, коли кажуть, що коренів немає, то мається на увазі, що немає дійсних коренів: в такому разі обидва корені є комплексними. Вони позначаються як $x_{1}$ та $x_{2}$ або, якщо йдеться про обидва корені одночасно, то $x_{1,2}.$ В деякій літературі зустрічається ще й таке позначення: $x_{+}$ і $x_{-}.$.)

Неповні квадратні рівняння

Згідно з означенням, перший коефіцієнт квадратного рівняння не може дорівнювати нулю: якщо $\ a=0$, то $\ ax^{2}+bx+c=0$ перетворюється у лінійне рівняння $\ bx+c=0$. Якщо хоч один коефіцієнт $\ b$ або $\ c$ дорівнює нулю, то квадратне рівняння називається непо́вним.

Розв'язування неповних квадратних рівнянь

• $ax^{2}=0$ рівносильне рівнянню $x^{2}=0$ і тому завжди має тільки один корінь $x=0$.
• $ax^{2}+bx=0$ розв'язується винесенням за дужки $x$: $x(ax+b)=0$. Таке рівняння має два корені: $x_{1}=0,x_{2}=-b/a$
• $ax^{2}+c=0$ рівносильне рівнянню $x^{2}=-c/a$. Якщо $-c/a>0$, воно має два дійсних розв'язки, якщо $-c/a<0$ — жодного дійсного.

Зведені квадратні рівняння

Зведеними називаються такі квадратні рівняння, у яких перший коефіцієнт дорівнює одиниці $(a=1)$. Будь-яке квадратне рівняння можна перетворити у зведене, іншими словами, звести його. Для цього треба обидві частини рівняння поділити на $a$:

$x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0.$

Повне квадратне рівняння

Повним називається таке квадратне рівняння, у якому жодний з коефіцієнтів $a,b,c$ не дорівнює нулю.

Виділення квадрату

Для зведеного квадратного рівняння

$x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0.$

використаємо формулу скороченого множення про квадрат суми, щоб позбутись доданка з першим степенем:

$\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}.$

Дискримінант

Оскільки $4a^{2}>0,$ то кількість коренів залежить тільки від знаку чисельника правої частини

$D=b^{2}-4ac$

який називають дискриміна́нтом (лат. diskriminans — розрізняючий), та позначають латинською літерою $D$.

Формула

Якщо $D>0$, то квадратне рівняння рівносильне рівнянню $(2ax+b)^{2}=\left({\sqrt {D}}\right)^{2}$, звідки

$2ax+b={\sqrt {D}},\qquad x={\frac {-b+{\sqrt {D}}}{2a}},$

або

$2ax+b=-{\sqrt {D}},\qquad x={\frac {-b-{\sqrt {D}}}{2a}}.$

У цьому випадку дане рівняння має два корені, які відрізняються лише знаком перед ${\sqrt {D}}$. Коротко ці корені записують так:

$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}$, де $D=b^{2}-4ac\qquad (1).$

Якщо $D=0$, то $2ax+b=0$, звідки $x=-{\frac {b}{2a}}$ — єдиний корінь (точніше — два однакові корені)

У випадку, якщо дискримінант менший за нуль, то дане рівняння не має дійсних коренів. Але при цьому є можливість знайти два комплексних корені за формулою (1) або, скориставшись наступною формулою, щоб не добувати корінь з від'ємного числа:

$x_{1,2}={\frac {-b\pm i\cdot {\sqrt {-b^{2}+4ac}}}{2a}}.$

Якщо коефіцієнти в рівнянні мають великі числові значення для уникнення довгих розрахунків можна скористатися формулою:

$x_{1,2}={\frac {-k\pm {\sqrt {k^{2}-ac}}}{a}},$ де :$k={\frac {b}{2}}.$

Приклад:

$2x^{2}+3x-5=0.$

$a=2$ $b=3$ $c=-5$

$D=3^{2}-4\cdot 2\cdot (-5)=9+40=49=7^{2}$

У цьому випадку дане рівняння має два корені, які відрізняються лише знаком перед ${\sqrt {D}}$

$x_{1}={\frac {-3-7}{4}}=-2,5$

$x_{2}={\frac {-3+7}{4}}=1$

Теорема Вієта

Якщо зведене квадратне рівняння має два корені, то їх сума дорівнює другому коефіцієнтові рівняння, взятому з протилежним знаком, а добуток — вільному члену. Для прикладу візьмемо зведене рівняння $x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0$ і позначимо ${\frac {b}{a}}$ через $p,$ а ${\frac {c}{a}}$ через $q.$ Тоді воно матиме такий вигляд:

$x^{2}+px+q=0,$

отже за теоремою Вієта:

$x_{1}+x_{2}=-p,$

$x_{1}\cdot x_{2}=q.$

Доведення

Якщо рівняння $x^{2}+px+q=0$ має корені $x_{1}$ і $x_{2},$ то їх можна знаходити за формулами:

$x_{1}={\frac {-p-{\sqrt {p^{2}-4q}}}{2}}$ і $x_{2}={\frac {-p+{\sqrt {p^{2}-4q}}}{2}}.$

При додаванні та множенні коренів отримуємо відповідно:

$x_{1}+x_{2}={\frac {-p-{\sqrt {p^{2}-4q}}}{2}}+{\frac {-p+{\sqrt {p^{2}-4q}}}{2}}=-p,$

$x_{1}\cdot x_{2}={\frac {-p-{\sqrt {p^{2}-4q}}}{2}}*{\frac {-p+{\sqrt {p^{2}-4q}}}{2}}=q.$

Теорема обернена до теореми Вієта

Якщо сума і добуток чисел $m$ і $n$ дорівнюють відповідно $-p$ і $q$, то $m$ і $n$ — корені рівняння $x^{2}+px+q=0.$

Використання теореми Вієта та оберненої до неї

Використовуючи теорему Вієта можна перевіряти правильність розв'язання квадратних рівнянь. А користуючись оберненою теоремою, можна навіть усно розв'язувати більшість зведених рівнянь. Для прикладу розв'яжемо таке рівняння:

$2x^{2}+16x+14=0.$

Щоб звести рівняння поділимо його на 2 (незведене рівняння матиме такі ж корені, як і зведене)

$x^{2}+8x+7=0.$

Оскільки 7 (вільний член) — це добуток коренів рівняння, то коренями має бути пара чисел 7 та 1 або −7 та −1. Так як сума коренів дорівнює −8 (другий коефіцієнт з протилежним знаком), то шукана пара — −7 і −1. Отже:

$x_{1}=-7,\quad x_{2}=-1.$

Інші методи розв'язування

Для знаходження коренів існують формули, які можуть стати в пригоді у деяких окремих випадках. Так, наприклад, формулу

$x_{1,2}=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}$

зручно використовувати при парному p. Її перевага полягає в непотрібності окремого знаходження дискримінанта, що значно спрощує необхідні обчислення.

Також поширеною є формула

$x_{1,2}={\frac {2c}{-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}}\qquad (2),$

але суттєвим її недоліком є неможливість отримати два корені при $c=0$. Тобто у випадку відсутності вільного члена з її допомогою не вдасться добути другий корінь (перший дорівнюватиме нулю). Цю проблему можна вирішити використовуючи змішаний вигляд вищезазначеної формули:

$x_{1}={\frac {-b-\operatorname {sgn} b\,{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},$

$x_{2}={\frac {c}{ax_{1}}},$

де $\operatorname {sgn} b$ — sign-функція. Цей спосіб розв'язування рівнянь дещо простіший за звичайний метод і позбавлений недоліку формули (2).

Аналітична геометрія

Графік функції y = x² − x − 2 перетинає вісь абсцис у точках з координатами, що дорівнюють кореням рівняння x² − x − 2 = 0

Корені рівняння

$ax^{2}+bx+c=0$

є також нулями функції

$f(x)=ax^{2}+bx+c.$

В точках перетину її графіка з віссю абсцис значення x-координати дорівнюватиме кореням рівняння. У випадку, коли дискримінант цього рівняння більший нуля, графік перетинається з віссю у двох точках; коли $D=0$, графік дотикається до неї в одній точці; якщо ж дискримінант менший за нуль, графік не перетинає вісь Ox взагалі.

Факторизація

Ліва частина квадратного рівняння, яка також називається квадратним тричленом, може бути розкладена на множники за такою формулою:
$ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})$, де $x_{1},x_{2}$ — корені цього рівняння.

Доповнення до квадрата

В процесі доповнення до квадрата використовують алгебраїчне рівняння

$x^{2}+2hx+h^{2}=(x+h)^{2},$

яке визначає чітко визначений алгоритм, який можна використати для розв'язку квадратного рівняння. Розпочнемо із квадратного рівняння наступної форми, ax² + bx + c = 0

1. Розділимо кожну його частину на a, коефіцієнт при квадратному члені рівняння.
2. Віднімемо сталу c/a з обох частин рівняння.
3. Додайте квадрат половини значення b/a, коефіцієнта при x, до обох частин рівняння. Це «доповнює квадрат», перетворюючи ліву частину у ідеальний квадрат.
4. Перепишіть ліву частину у вигляді квадрата і спростіть праву частину при необхідності.
5. Отримаємо два лінійні рівняння прирівнявши квадратний корінь у лівій частині із додатнім і від'ємним квадратним коренями правої частини.
6. Знайдемо розв'язок двох лінійних рівнянь.

Наведемо приклад роботи алгоритма, розв'язавши рівняння 2x² + 4x − 4 = 0

$1)\ x^{2}+2x-2=0$

$2)\ x^{2}+2x=2$

$3)\ x^{2}+2x+1=2+1$

$4)\ \left(x+1\right)^{2}=3$

$5)\ x+1=\pm {\sqrt {3}}$

$6)\ x=-1\pm {\sqrt {3}}$

Подвійний знак плюс-мінус «±» означає, що обидва варіанти x = −1 + √3 і x = −1 − √3 є розв'язками квадратного рівняння.

Рівняння, що зводяться до квадратних

До квадратних можна звести біквадратне, а також будь-яке рівняння виду $ax^{2n}+bx^{n}+c=0$, зробивши заміну $t=x^{n}$. Для прикладу розв'яжемо наступне рівняння:

$3x^{6}-21x^{3}+30=0.$

Зробимо заміну $t=x^{3}$:

$3t^{2}-21t+30=0.$

Це звичайне квадратне рівняння, корені якого знайдемо за формулою (2):

$t_{1}={\frac {2\cdot 30}{21+{\sqrt {(-21)^{2}-4\cdot 3\cdot 30}}}}={\frac {60}{21+{\sqrt {441-360}}}}={\frac {60}{30}}=2,$

$t_{2}={\frac {2\cdot 30}{21-{\sqrt {(-21)^{2}-4\cdot 3\cdot 30}}}}={\frac {60}{21-{\sqrt {441-360}}}}={\frac {60}{12}}=5.$

Маючи значення $t$ легко знайти корені початкового рівняння:

$x_{1}={\sqrt[{3}]{t_{1}}}={\sqrt[{3}]{2}},$

$x_{2}={\sqrt[{3}]{t_{2}}}={\sqrt[{3}]{5}}.$

Приклади і застосування

Траєкторія польоту при стрибанні з кручі у воду параболічна, оскільки горизонтальне переміщення є лінійною функцією від часу $x=v_{x}t$, а вертикальне переміщення є квадратичною функцією від часу $y={\tfrac {1}{2}}at^{2}+v_{y}t+h$. В результаті, шлях буде задаватися квадратним рівнянням $y={\tfrac {a}{2v_{x}^{2}}}x^{2}+{\tfrac {v_{y}}{v_{x}}}x+h$, де $v_{x}$ і $v_{y}$ — горизонтальна і вертикальна компоненти початкової швидкості, a є гравітаційним прискоренням, а h є початковою висотою. Значення a слід задавати від'ємним, оскільки напрям падіння (вниз) є протилежним до вимірювання висоти (вгору).

Золотий перетин можна знайти як додатній розв'язок квадратного рівняння $x^{2}-x-1=0$.

Рівняння кола і інших конічних перетинів — еліпса, параболи, і гіперболи — є квадратними рівняннями двох змінних.

При відомому косинусі або синусі кута, знайти косинус або синус половини цього кута можна за допомогою вирішення квадратного рівняння.

Теорема Декарта стверджує, що для будь-яких чотирьох взаємно дотичних кіл, їх радіуси задовольнятимуть певному квадратному рівнянню.

Теоремою Фаусса визначається рівняння, яке задає співвідношення між радіусом кола вписаного в біцентричний чотирикутник і радіусом описаного кола та відстанню між центрами цих кіл. Рівняння можна представити у вигляді квадратного рівняння, в якому розв'язком буде відстань між двома центрами кіл із заданими радіусами. Іншим розв'язком того ж рівняння, при відповідних радіусах дасть відстань між центрами описаного кола і зовнішнього кола зовні-описаного чотирикутника.

Історія

Стародавня Греція

У стародавній Греції квадратні рівняння розв'язувалися за допомогою геометричних побудов. Методи, які не пов'язувалися з геометрією, вперше наводить Діофант Александрійський у III ст. У своїх книгах «Арифметика» він наводить приклади розв'язування неповних квадратних рівнянь. Його книги з описом способів розв'язування повних квадратних рівнянь до нашого часу не збереглися.

Індія

Завдання, які розв'язувалися за допомогою квадратних рівнянь, зустрічаються в трактаті з астрономії «Аріабхаттіам», написаним індійським астрономом і математиком Аріабхатою І в 499 році нашої ери. Один з перших відомих висновків формули коренів квадратного рівняння належить індійському вченому Брамагупті (близько 598 р.) [1]; Брамагупта виклав універсальне правило розв'язування квадратного рівняння, зведеного до канонічного вигляду: $ax^{2}+bx+c=0,$причому передбачалося, що в ньому всі коефіцієнти, крім $a$, можуть бути від'ємними. Сформульоване вченим правило по своїй суті збігається з сучасним.

Аль-Хорезмі описав алгоритм знаходження коренів всіх шести підвидів квадратного рівняння.

Європа

Загальне правило розв'язування квадратних рівнянь було сформоване німецьким математиком М. Штифелем (1487 — 1567). Виведенням формули загального розв'язку квадратних рівнянь займався Франсуа Вієт. Він же й вивів формули залежності коренів рівняння від коефіцієнтів у 1591 році. Після праць нідерландського математика А. Жирара (1595 — 1632), а також Декарта і Ньютона спосіб розв'язування квадратних рівнянь набув сучасного вигляду.

Див. також

• Рівняння
• Кубічне рівняння
• Теорема Вієта
• Формули скороченого множення

Джерела

• Завало С. Т. (1985). Курс алгебри. Київ: Вища школа. с. 503. (укр.)
• Administrator. Квадратні рівняння. Неповні квадратні рівняння, їх розв’язування. shkolyar.in.ua (укр.). Архів оригіналу за 15 Лютого 2017. Процитовано 14 лютого 2017.

Посилання

• Дискримінант // Універсальний словник-енциклопедія. — 4-те вид. — К. : Тека, 2006.