Теоре́ма Віє́та — формули, названі на честь Франсуа Вієта, що виражають коефіцієнти многочлена через його корені.

Ці формули зручно використовувати для перевірки правильності знаходження коренів та для задання многочлена з визначеними властивостями.

ФормулиРедагувати

Якщо   — корені многочлена   (кожен корінь присутній відповідно до його кратності),
то коефіцієнти   є елементарними симетричними многочленами від коренів, а саме:

 

Іншими словами   дорівнює сумі всіх можливих  -добутків із коренів.

Якщо старший коефіцієнт многочлена  , то для застосування формули Вієта необхідно розділити всі коефіцієнти на  .

Із останньої формули Вієта випливає, що якщо корені многочлена є цілими, то вони є дільниками його вільного члена, який також є цілим.

ДоведенняРедагувати

Доведення використовує рівність

 .

Права частина представляє многочлен, розкладений на множники.

Після розкриття дужок, коефіцієнти при однакових степенях x повинні бути однаковими в обох частинах рівності, з чого слідують формули Вієта.

ПрикладиРедагувати

 .
  • В частковому випадку при   (квадратне рівняння  ), то
 .

  • Якщо   корені кубічного рівняння   то
 .
  • В частковому випадку (кубічне рівняння  ), то
 .

 
 .
  • В частковому випадку (рівняння  ), то
 
 .

Див. такожРедагувати

ДжерелаРедагувати

  • Курош А. Г. Курс высшей алгебры.-М.:Наука 1968, 331с