Відкрити головне меню
Графік поліноміальної функції 3-го степеня

Многочленом, багаточленом або поліномом однієї змінної в математиці називається вираз вигляду

де є сталими коефіцієнтами (константами), а  — змінна.

Наприклад, та є многочленами, але та не є многочленами.

Многочленом від декількох змінних називається скінченна сума, в якій кожен з доданків є добутком скінченного числа цілих степенів змінних та константи:

Многочлени є одним з найважливіших класів елементарних функцій.

Зміст

Пов'язані терміниРедагувати

В многочлені   доданки   називаються його членами. Якщо  , то   називається старшим членом, а його степінь   степенем многочлена. Степінь многочлена   позначається  . Член нульового степеня   називається вільним членом.

Ще є нульовий многочлен   (інколи пишуть  , щоб підкреслити, що це не рівняння, а тотожність), який не має жодного члена, тому визначення степеня многочлена до нього застосувати не можна. Для зручності вважають, що степінь нульового многочлена дорівнює мінус нескінченності,  .

Многочлен нульового степеня називається константою, першого степеня — лінійним, другого степеня — квадратичним, третього степеня — кубічним. Многочлени степеня більше нуля ми будемо називати неконстантними або нетривіальними.

Многочлен з одним членом називається одночленом, з двома членами — двочленом, з трьома — тричленом.

Наприклад,   — кубічний тричлен з членами  ,   і  , причому   — це старший член, а   — вільний член.

Операції над многочленамиРедагувати

  • Сума многочленів є многочленом. Степінь суми многочленів менше або дорівнює максимуму степенів доданків.
 
  • Добуток многочленів є многочленом. Степінь добутку многочленів дорівнює сумі степенів співмножників.
 
  • Многочлени можна ділити з остачею: якщо   — ненульовий многочлен, то будь-який многочлен   можна представити у вигляді
 

де   і   — многочлени, причому  .

Корінь многочленаРедагувати

Докладніше: Корінь многочлена

Многочлен можна розглядати як функцію від змінної  . Число   називається коренем многочлена  , якщо воно є коренем відповідної функції, тобто якщо  . Це рівносильно умові «Многочлен   ділиться на двочлен   без остачі» (див. теорему Безу). Якщо   ділиться на   без остачі, то корінь   називається кратним; якщо не ділиться, то простим. Кратністю кореня називається найбільше число  , для якого   ділиться на   без остачі (таким чином, прості корені — це корені кратності 1).

Розкладання многочлена на нескоротні множникиРедагувати

Якщо неконстантний многочлен   можна представити у вигляді  , де   і   — многочлени степеня не нижче першого, то кажуть, що   розкладено на нетривіальні множники  ,  . Якщо ж такого представлення не існує, многочлен називають нескоротним. Зрозуміло, що оскільки

 ,   і  ,

то

  і  .

Якщо якийсь з множників  ,   можна розкласти на нетривіальні множники, то ми продовжимо процес розкладання допоки це можливо. Оскільки на кожному кроці степінь множників зменшується, цей процес є скінченним. Отже в результаті ми отримаємо представлення   у вигляді

 

де многочлени   є нескоротними. Таке представлення однозначно, з точністю до перестановки множників.

Основна теорема алгебриРедагувати

Комплексний многочлен степеня   має рівно   комплексних коренів, з урахуванням кратності.

Інакше кажучи, його можна розкласти на   лінійних множників:

 

Таким чином, серед многочленів з комплексними коефіцієнтами нескоротними є лише лінійні многочлени.

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати