Елементарний симетричний многочлен

Елементарні симетричні многочлени — один з підвидів симетричних многочленів, їх важливість у тому, що з них можна скласти довільний симетричний многочлен.

Елементарні симетричні многочлени мають вигляд:

і так далі до

Для довільного многочлена можна записати:

Алгебраїчна незалежністьРедагувати

Елементарні симетричні многочлени є алгебраїчно незалежними, тобто для будь-якого n > 0 не існує такого ненульового многочлена P від n змінних, що   Для доведення цього факту, на множині всіх одночленів   можна ввести два відношення лінійного порядку:

  • Перше відношення   якщо   для найменшого індексу j для якого  .
  • Друге відношення є лексикографічним упорядкуванням, тобто   якщо   для найменшого індексу j для якого  .

Якщо P є ненульовим многочленом, то його можна записати, як суму одночленів виду   Нехай   є одночленом, що є найбільшим у першому впорядкуванні. Тоді підставляючи   і розписуючи одержаний вираз, як многочлен від   одержуємо, що найбільший у другому впорядкуванні одночлен одержаного многочлена має вигляд   Якщо тепер   то k=0, а тому і  

Теорема ВієтаРедагувати

Докладніше: Теорема Вієта

Однією з причин широкого застосування елементарних симетричних многочленів є теорема Вієта: Нехай P — многочлен із коефіцієнтами з деякого поля старшим коефіцієнтом рівним одиниці. У своєму алгебраїчному замиканні цей многочлен має кількість коренів рівну його степеню (з урахуванням кратності коренів) і можна записати:

 

тоді коефіцієнти P виражаються через елементарні симетричні многочлени від його коренів. А саме:

 

Фундаментальна теорема про симетричні многочлениРедагувати

Нехай R — комутативне кільце з одиницею. Тоді довільний симетричний многочлен від n змінних з коефіцієнтами з R, може бути записаний як многочлен від змінних   з коефіцієнтами з R.


ЛітератураРедагувати