Формула Гревіля дозволяє обчислити псевдообернену матрицю
для матриці
скінченним ітераційним способом.
На k-тій ітерації обчислюється
де
— матриця з перших k стовпців матриці
Запишемо
у вигляді
![{\displaystyle A_{k}={\begin{bmatrix}A_{k-1}&a_{k}\end{bmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbb90d051881ac7b2c4903b0c468e0a3ff4d3d3c)
де
— k-тий стовпець матриці ![{\displaystyle \ A,\quad k={\overline {1,n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5cac384b180f536baec93f7b8f921332edde2cf)
Позначимо також:
![{\displaystyle \ d_{k}=A_{k-1}^{+}a_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a76e3954f9535b62c4f715f90b2f139b56e4c34)
![{\displaystyle \ c_{k}=a_{k}-A_{k-1}d_{k}=(I_{m}-A_{k-1}A_{k-1}^{+})a_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9666fffc6cf3eae598676861530318598ef4a56)
Тоді:
![{\displaystyle A_{k}^{+}={\begin{bmatrix}A_{k-1}^{+}-d_{k}b_{k}^{*}\\b_{k}^{*}\end{bmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c4c35f848325246ebb678d721a96dedee5bb5c)
де
![{\displaystyle b_{k}^{*}=\left\{{\begin{matrix}c_{k}^{+},&c_{k}\neq 0;\\(1+d_{k}^{*}d_{k})^{-1}d_{k}^{*}A_{k-1}^{+},&c_{k}=0.\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9477bea37ed05fa04166e0cd8ca739bc1de88da7)
- Adi Ben-Israel, Thomas N.E. Greville (2003). Generalized Inverses. Theory and Applications (вид. друге). Springer. с. 436.