Білінійна форма
Біліні́йна фо́рма (білінійний функціонал, білінійна функція) — це таке відображення декартового квадрата векторного простору в скалярне поле , що є лінійним за кожним зі своїх аргументів:
скалярне поле — це, зазвичай, дійсні числа чи комплексні числа
Білінійна форма називається спряженою до форми і позначається
Для випадку комплексних чисел цікавішими є півторалінійні форми, що є подібними до білінійних, але є спряжено-лінійними за одним з аргументів.
Координатне представленняРедагувати
- Якщо — деякий базис лінійного простору то білінійна форма буде представлена як:
де — квадратна матриця з елементами
- Якщо деякий інший базис в де — невироджена матриця.
Тоді при переході до нового базису матриця білінійної форми зміниться на конгруентну матрицю:
Пов'язані визначенняРедагувати
- Білінійна форма називається симетричною, якщо для довільних виконується і
- кососиметричною, якщо
Довільна білінійна форма може бути представлена у вигляді суми симетричної і кососиметричної форми:
- Симетрична білінійна форма називається додатноозначеною (від'ємноозначеною) якщо
Додатноозначена білінійна форма задовільняє всі аксіоми скалярного добутку.
Симетрична білінійна формаРедагувати
Симетричні білінійні форми тісно пов'язані з квадратичними формами.
Симетричну білінійну форму A(x,y), називають полярною до квадратичної форми A(x,x). Матриця білінійної форми збігається з матрицею полярної до неї квадратичної форми в тому ж базисі.
- Маючи білінійну форму (не обов'язково симетричну), отримаємо квадратичну форму як:
- І навпаки, маючи квадратичну форму , використавши правило паралелограма, отримаємо асоційовану з нею симетричну білінійну форму:
Ортогональний базисРедагувати
Базис називається ортогональним по відношенню до якщо:
- Завжди можна знайти ортогональний базис для симетричної білінійної форми (доводиться методом математичної індукції).
- Базис є ортогональним тоді і тільки тоді, коли в ньому матриця є діагональною.
Закон інерціїРедагувати
ДжерелаРедагувати
- Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 2 изд. — Москва : Наука, 1967. — 576 с. — ISBN 5-9221-0524-8.(рос.)
- Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1971. — 271 с. — ISBN 5791300158.(рос.)