Відкрити головне меню

Біліні́йна фо́рма (білінійний функціонал, білінійна функція) — це таке відображення декартового квадрата векторного простору в скалярне поле , що є лінійним за кожним зі своїх аргументів:

скалярне поле — це, зазвичай, дійсні числа чи комплексні числа

Білінійна форма називається спряженою до форми і позначається

Для випадку комплексних чисел цікавішими є півторалінійні форми, що є подібними до білінійних, але є спряжено-лінійними за одним з аргументів.

Зміст

Координатне представленняРедагувати

  • Якщо   — деякий базис лінійного простору   то білінійна форма буде представлена як:
 

де  квадратна матриця з елементами  

  • Якщо   деякий інший базис в   де  невироджена матриця.

Тоді при переході до нового базису матриця білінійної форми зміниться на конгруентну матрицю:

 

Пов'язані визначенняРедагувати

  • Білінійна форма називається симетричною, якщо для довільних   виконується   і
кососиметричною, якщо  

Довільна білінійна форма може бути представлена у вигляді суми симетричної і кососиметричної форми:

 
  • Симетрична білінійна форма називається додатноозначеною (від'ємноозначеною) якщо  

Додатноозначена білінійна форма задовільняє всі аксіоми скалярного добутку.

Симетрична білінійна формаРедагувати

Симетричні білінійні форми тісно пов'язані з квадратичними формами.

Симетричну білінійну форму A(x,y), називають полярною до квадратичної форми A(x,x). Матриця білінійної форми збігається з матрицею полярної до неї квадратичної форми в тому ж базисі.

  • Маючи білінійну форму   (не обов'язково симетричну), отримаємо квадратичну форму як:
 
  • І навпаки, маючи квадратичну форму  , використавши правило паралелограма, отримаємо асоційовану з нею симетричну білінійну форму:
 

Ортогональний базисРедагувати

Базис   називається ортогональним по відношенню до   якщо:

 
  • Завжди можна знайти ортогональний базис для симетричної білінійної форми (доводиться методом математичної індукції).
  • Базис є ортогональним тоді і тільки тоді, коли в ньому матриця   є діагональною.

Закон інерціїРедагувати

ДжерелаРедагувати