Білінійна форма

Біліні́йна фо́рма (білінійний функціонал, білінійна функція) — це таке відображення декартового квадрата векторного простору $\ V$ в скалярне поле $\ F$, що є лінійним за кожним зі своїх аргументів:

$\ B:V\times V\to F,$

скалярне поле — це, зазвичай, дійсні числа $\mathbb {R}$ чи комплексні числа $\mathbb {C} .$

• $\ B(u+u',v)=B(u,v)+B(u',v),$
• $\ B(u,v+v')=B(u,v)+B(u,v'),$
• $\ B(\lambda u,v)=B(u,\lambda v)=\lambda \,B(u,v).$

Білінійна форма $\ B(v,u)$ називається спряженою до форми $\ B(u,v)$ і позначається $\ B^{*}.$

Для випадку комплексних чисел цікавішими є півторалінійні форми, що є подібними до білінійних, але є спряжено-лінійними за одним з аргументів.

Координатне представлення

• Якщо $\ (e_{1},\ldots ,e_{n})$ — деякий базис лінійного простору $\ V,$ то білінійна форма буде представлена як:

$B({\textbf {x,\;y}})={\textbf {x}}^{\mathrm {T} }A{\textbf {y}}=\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}x_{i}y_{j}$

де $\ A$ — квадратна матриця з елементами $\ a_{ij}=B(e_{i},e_{j}).$

• Якщо $\ (e'_{1}\ldots e'_{n})=(e_{1}\ldots e_{n})S$ деякий інший базис в $\ V,$ де $\ S$ — невироджена матриця.

Тоді при переході до нового базису матриця білінійної форми зміниться на конгруентну матрицю:

$\ A'=S^{T}AS.$

Пов'язані визначення

• Білінійна форма називається симетричною, якщо для довільних $\ u,v$ виконується $\ B(u,v)=B(v,u)$ і

кососиметричною, якщо $\ B(u,v)=-B(v,u).$

Довільна білінійна форма може бути представлена у вигляді суми симетричної і кососиметричної форми:

$\ B^{\pm }={\frac {1}{2}}(B\pm B^{*})\quad \to \quad B=B^{+}+B^{-}$

• Симетрична білінійна форма називається додатноозначеною (від'ємноозначеною) якщо $\forall x\neq 0:\;\;B(x,x)>0\quad (B(x,x)<0).$

Додатноозначена білінійна форма задовільняє всі аксіоми скалярного добутку.

Симетрична білінійна форма

Симетричні білінійні форми тісно пов'язані з квадратичними формами.

Симетричну білінійну форму A(x,y), називають полярною до квадратичної форми A(x,x). Матриця білінійної форми збігається з матрицею полярної до неї квадратичної форми в тому ж базисі.

• Маючи білінійну форму $\ B$ (не обов'язково симетричну), отримаємо квадратичну форму як:

$\ Q(u)=B(u,u)$

• І навпаки, маючи квадратичну форму $\ Q$, використавши правило паралелограма, отримаємо асоційовану з нею симетричну білінійну форму:

$B(u,v)={\frac {1}{4}}\left(Q(u+v)-Q(u-v)\right).$

Ортогональний базис

Базис $\ (e_{1},\ldots ,e_{n})$ називається ортогональним по відношенню до $\ B$ якщо:

$\ \forall i\neq j:\quad B(e_{i},e_{j})=0.$

• Завжди можна знайти ортогональний базис для симетричної білінійної форми (доводиться методом математичної індукції).

• Базис є ортогональним тоді і тільки тоді, коли в ньому матриця $\ A$ є діагональною.

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 2 изд. — Москва : Наука, 1967. — 576 с. — ISBN 5-9221-0524-8.(рос.)
• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1971. — 271 с. — ISBN 5791300158.(рос.)