Білінійна форма

Біліні́йна фо́рма (білінійний функціонал, білінійна функція) — це таке відображення декартового квадрата векторного простору $V$ в скалярне поле $F$, що є лінійним за кожним зі своїх аргументів:

$B:V\times V\to F,$

скалярне поле — це, зазвичай, дійсні числа $R$ чи комплексні числа $\mathbb {C}$.

• $B({\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {u'}},{\boldsymbol {v}})=B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}})+B({\boldsymbol {u'}},{\boldsymbol {v}}),$
• $B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}}+{\boldsymbol {v'}})=B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}})+B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v'}}),$
• $B(\lambda {\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}})=B({\boldsymbol {u}},\lambda {\boldsymbol {v}})=\lambda \,B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}}).$

Білінійна форма $B({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {u}})$ називається спряженою до форми $B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}})$ і позначається $B^{*}$.

Для випадку комплексних чисел цікавішими є півторалінійні форми, що є подібними до білінійних, але є спряжено-лінійними за одним з аргументів.

Скалярний добуток на ${\mathbb {R} }^{n}$ є прикладом білінійної форми..

Означення білінійної форми можна розширити на модулі над кільцем, де лінійне відображення замінюється гомоморфізмом модулів.

Якщо $\mathbb {K}$ — поле комплексних чисел $\mathbb {C}$, тоді часто більш цікавими об'єктами є півторалінійні форми, які подібні до білінійних форм, але за одним з аргументів є лінійно-спряженими.

Координатне представлення

Нехай $V\cong \mathbb {K} ^{n}$ — $n$-вимірний векторний простір з базисом $\{{\boldsymbol {e}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {e}}_{n}\}$.

Матрицю $A$ розмірності $(n\times n)$, елементи якої визначаються як $A_{ij}=B({\boldsymbol {e}}_{i},{\boldsymbol {e}}_{j})$, називають матрицею білінійної форми у базисі $\{{\boldsymbol {e}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {e}}_{n}\}$.

• Якщо $(n\times 1)$ — матриця $x$ представляє вектор ${\boldsymbol {v}}$ у цьому базисі, аналогічно $y$ відповідає іншому вектору ${\boldsymbol {w}}$, то

$B({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}})={\boldsymbol {x}}^{\rm {T}}A{\boldsymbol {y}}=\sum _{i,j=1}^{n}x_{i}a_{ij}y_{j},$

де $A$ — квадратна матриця з елементами $a_{ij}=B(e_{i},e_{j})$.

• Якщо $\{{\boldsymbol {f}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {f}}_{n}\}$ деякий інший базис в $V$, де $S$ — невироджена матриця, то

${\boldsymbol {f}}_{j}=\sum _{i=1}^{n}S_{i,j}{\boldsymbol {e}}_{i}.$

Тоді при переході до нового базису матриця білінійної форми зміниться на конгруентну матрицю:

$A'=S^{T}AS.$

Відображення у спряжений простір

Будь-яка білінійна форма $B$ на просторі $V$ визначає пару лінійних відображень з простору $V$ у спряжений до нього простір $V^{\ast }$. Визначимо $B_{1},B_{2}\colon V\rightarrow V^{\ast }$ як

$B_{1}({\boldsymbol {v}})({\boldsymbol {w}})=B({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}}),$

$B_{2}({\boldsymbol {v}})({\boldsymbol {w}})=B({\boldsymbol {w}},{\boldsymbol {v}}).$

Часто ці відображення позначається як

$B_{1}({\boldsymbol {v}})=B({\boldsymbol {v}},\cdot ),$

$B_{2}({\boldsymbol {v}})=B(\cdot ,{\boldsymbol {v}}),$

де $(\cdot )$ вказує на слот, в який потрібно помістити аргумент результуючого лінійного функціоналу (див. каррінг).

Для скінченновимірного векторного простору $V$, якщо будь-яке з відображень $B_{1}$ або $B_{2}$ є ізоморфізмом, то тоді обидва вони є ізоморфізмами, і білінійну форму $B$ називають невиродженою. Більш точніше, для скінченновимірного векторного простору невиродженість означає, що кожен ненульовий елемент нетривіально поєднується з якимсь іншим елементом:

$B(x,y)=0\,$ для усіх $y\in V$ передбачає, що ${\boldsymbol {x}}=0$ i

$B(x,y)=0\,$ для усіх $x\in V$ передбачає, що ${\boldsymbol {y}}=0.$

Відповідне поняття для модуля над комутативним кільцем полягає в тому, що білінійна форма є унімодулярною, якщо відображення $V\rightarrow V^{\ast }$ є ізоморфізмом. Нехай задано скінченний породжений модуль над комутативним кільцем, утворення пар може бути ін'єктивним (отже, "невиродженим" у наведеному вище розумінні), але не унімодулярним. Наприклад, для цілих чисел утворення пар $B(x,y)=2xy$ є невиродженим, але неунімодулярним, оскільки індуковане відображення з $V={\mathbb {Z} }$ на $V^{\ast }={\mathbb {Z} }$ є множенням на 2.

Якщо простір $V$ — скінченновимірний, тоді можна ототожнювати простір $V$ з двічі спряженим простором $V^{\ast \ast }$. Можна показати, що відображення $B_{2}$ є транспонуванням лінійного відображення $B_{1}$ (якщо простір $V$ нескінченновимірний, то $B_{2}$ — транспонування $B_{1}$, обмежене образом простору $V$ у просторі $V^{\ast \ast }$). Для заданого відображення $B$ можна визначити транспоноване до нього через білінійну форму наступним чином

${}^{\rm {t}}B({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}})=B({\boldsymbol {w}},{\boldsymbol {v}}).$

Лівий і правий радикали білінійної форми $B$ є ядрами відображень $B_{1}$ і $B_{2}$, відповідно; вони є векторами, ортогональними до всього простору зліва та справа.

Якщо простір $V$ — скінченновимірний, тоді ранг відображення $B_{1}$ дорівнює рангу відображення $B_{2}$. Якщо це значення дорівнює $\dim V$, тоді відображення $B_{1}$ і $B_{2}$ є лінійними ізоморфізмами з простору $V$ у простір $V^{\ast }$. У цьому випадку білінійна форма $B$ є невиродженою. За теоремою про ранг ядра це еквівалентно умові, що лівий та правий радикали будуть тривіальними. Для скінченновимірних просторів це часто приймається як означення невиродженості:

Означення: Відображення $B$ є невиродженим, якщо з умови $B({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}})=0$, яка виконується для всіх ${\boldsymbol {w}}$, випливає, що ${\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {0}}$.

Для будь-якого лінійного відображення $A\colon V\rightarrow V^{\ast }$ можна отримати білінійну форму $B$ у просторі $V$ як

$B({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}})=A({\boldsymbol {v}})({\boldsymbol {w}}).$

Ця форма буде невиродженою тоді і лише тоді, коли відображення $A$ є ізоморфізмом.

Якщо простір $V$ є скінченновимірним тоді, відносно деякого базису простору $V$, білінійна форма є виродженою тоді і тільки тоді, коли визначник відповідної матриці дорівнює нулю. Аналогічно, невиродженою формою є форма для якої визначник асоційованої матриці ненульовий (матриця є несингулярною). Ці твердження не залежать від вибраного базису. Для модуля над комутативним кільцем унімодулярна форма є формою, для якої визначник асоційованої матриці дорівнює одиниці (наприклад, 1), що і обґрунтовує термінологію. Зауважимо, що форма, визначник якої не дорівнює нулю, але не є одиницею, буде невиродженою, але не унімодулярною, наприклад, форма $B({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}})=2xy$ над полем цілих чисел.

Симетрична, кососиметрична та знакозмінна форми

Визначаємо білінійну форму як

• симетричну, якщо $B({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}})=B({\boldsymbol {w}},{\boldsymbol {v}})$ для всіх ${\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}}\in V$;
• знакозмінну, якщо $B({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {v}})=0$ для всіх ${\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}}\in V$;
• кососиметричну, якщо $B({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}})=-B({\boldsymbol {w}},{\boldsymbol {v}})$ для всіх ${\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}}\in V$.

Твердження: Будь-яка знакозмінна форма є кососиметричною.

Доведення: Це можна побачити, розписавши $B({\boldsymbol {v}}+{\boldsymbol {w}};{\boldsymbol {v}}+{\boldsymbol {w}})$.

Якщо характеристика поля $\mathbb {K}$ не дорівнює 2, то справедливо і зворотне твердження: кожна кососиметрична форма є знакозмінною. Однак, якщо $\operatorname {char} (\mathbb {K} )=2$, то кососиметрична форма є такою ж як симетрична форма, і існують симетричні/кососиметричні форми, які не є знакозмінними.

Білінійна форма є симетричною (відповідно, кососиметричною) тоді і лише тоді, коли її координатна матриця (відносно будь-якого базису) є симетричною (відповідно, кососиметричною). Білінійна форма є знакозмінною тоді і тільки тоді, коли її координатна матриця є кососиметричною, а діагональні елементи дорівнюють нулю (це випливає з кососиметричності при $\operatorname {char} (\mathbb {K} )\neq 2$).

Білінійна форма є симетричною тоді і лише тоді, коли відображення $B_{1},B_{2}\colon V\rightarrow V^{\ast }$ рівні ($B_{1}({\boldsymbol {v}})=B_{2}({\boldsymbol {v}})$), і кососиметричною тоді і лише тоді, коли вони протилежні за знаком (($B_{1}({\boldsymbol {v}})=-B_{2}({\boldsymbol {v}})$). Якщо $\operatorname {char} (\mathbb {K} )\neq 2$, то білінійну форму можна розкласти на симетричну та кососиметричну частини наступним чином:

$B^{+}={\frac {1}{2}}(B+{}^{\rm {t}}B),\quad B^{-}={\frac {1}{2}}(B-{}^{\rm {t}}B),$

де ${}^{\rm {t}}B$ — відображення транспоноване до $B$ (визначене вище).

$B^{\pm }={\frac {1}{2}}(B\pm B^{*})\quad \to \quad B=B^{+}+B^{-}$

• Симетрична білінійна форма називається додатновизначеною (від'ємновизначеною), якщо $\forall x\neq 0$: $B(x,x)>0$ або $B(x,x)<0$.

Додатновизначена білінійна форма задовільняє всі аксіоми скалярного добутку.

Симетрична білінійна форма

Симетричні білінійні форми тісно пов'язані з квадратичними формами.

Симетричну білінійну форму A(x,y), називають полярною до квадратичної форми A(x,x). Матриця білінійної форми збігається з матрицею полярної до неї квадратичної форми в тому ж базисі.

• Маючи білінійну форму $B$ (не обов'язково симетричну), отримаємо квадратичну форму як:

$Q({\boldsymbol {u}})=B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {u}}).$

• І навпаки, маючи квадратичну форму $Q$, використавши правило паралелограма, отримаємо асоційовану з нею симетричну білінійну форму:

$B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}})={\frac {1}{4}}\left(Q({\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {v}})-Q({\boldsymbol {u}}-{\boldsymbol {v}})\right).$

Похідна квадратична форма

Для будь-якої білінійної форми $B\colon V\times V\rightarrow \mathbb {K}$ існує асоційована квадратична форма $Q\colon V\rightarrow \mathbb {K}$, визначена як $Q\colon V\rightarrow \mathbb {K} \colon {\boldsymbol {v}}\mapsto B({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {v}})$.

Якщо $\operatorname {char} (\mathbb {K} )\neq 2$, то квадратична форма $Q$ визначається симетричною частиною білінійної форми $B$ і не залежить від антисиметричної частини. У цьому випадку існує взаємнооднозначна відповідність між симетричною частиною білінійної форми та квадратичною формою, і є сенс говорити про симетричну білінійну форму асоційовану з квадратичною формою.

Якщо $\operatorname {char} (\mathbb {K} )=2$ і $\dim V>1$, то такої відповідності між квадратичними формами та симетричними білінійними формами немає.

Рефлексивність та ортогональність

Означення: Білінійна форма $B\colon V\times V\rightarrow \mathbb {K}$ називається рефлексивною, якщо із $B({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}})=0$ випливає, що і $B({\boldsymbol {w}},{\boldsymbol {v}})=0$ для всіх ${\boldsymbol {w}},{\boldsymbol {v}}\in V$.

Означення: Нехай $B\colon V\times V\rightarrow \mathbb {K}$ — рефлексивна білінійна форма. Вектори ${\boldsymbol {v}}$, ${\boldsymbol {w}}$ простору $V$ є ортогональними відносно $B$, якщо $B({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}})=0$.

Білінійна форма $B$ є рефлексивною тоді і лише тоді, коли вона симетрична або кососиметрична. За відсутності рефлексивності нам доводиться розрізняти ліву та праву ортогональність. У рефлексивному просторі лівий і правий радикали співпадають і називаються ядром або радикалом білінійної форми: підпростір усіх векторів, ортогональних з будь-яким іншим вектором. Вектор ${\boldsymbol {v}}$ з матричним представленням $x$ знаходиться в радикалі білінійної форми з матричним представленням $A$, тоді і тільки тоді, коли $Ax=0\Leftrightarrow x^{\top }A=0$. Радикал — це завжди підпростір простору$V$. Він тривіальний тоді і тільки тоді, коли матриця $A$ невироджена, і, отже, тоді і тільки тоді, коли білінійна форма є невиродженою.

Нехай $W$ є підпростором. Визначимо ортогональне доповнення як

$W^{\bot }=\left\{{\boldsymbol {v}}\mid B({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}})=0\ \forall {\boldsymbol {w}}\in W\right\}.$

Для невироджених білінійної форми на скінченномірному просторі відображення $V/W\rightarrow W^{\bot }$ є бієкцією і розмірність ортогонального доповнення $W^{\bot }$ дорівнює $\dim V-\dim W$.

Різні простори

Більша частина теорії доступна для білінійного відображення з двох векторних просторів над тим самим базовим полем у це поле

$B\colon \ V\times V\rightarrow \mathbb {K} .$

Тут все ще маємо індуковані лінійні відображення з простору $V$ у простір $W^{\ast }$ і з простору $W$ у простір $V^{\ast }$. Може трапитися так, що ці відображення є ізоморфізмами; припускаючи скінченновимірність, якщо одне є ізоморфізмом, інше також має бути ізоморфізмом. Коли це відбувається, білінійну форму $B$ називають досконалим утворюванням пар.

У випадку скінченних розмірностей це еквівалентно тому, що утворювання пар є невиродженим (простори обов'язково мають однакові розмірності). Для модулів (замість векторних просторів), подібно до того як зараз, невироджена форма є слабшою за унімодулярну форму, невироджене утворювання пар є слабшим поняттям ніж досконале утворювання пар. Утворювання пар може бути невиродженим, не будучи досконалим. Наприклад, $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z}$ вигляду $(x,y)\mapsto 2xy$ є невиродженим, але індукується множення на 2 при відображенні $\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} ^{\ast }$.

Термінологія змінюється при розгляді різних білінійних форм. Наприклад, Ф. Різ Харві обговорює "вісім видів внутрішнього добутку". Для їх визначення він використовує діагональні матриці $A_{ij}$, що мають лише $+1$ або $-1$ для ненульових елементів. Деякі з "внутрішніх добутків" є симплектичними формами, а деякі — півторалінійними формами або ермітовими формами. Замість загального поля $\mathbb {K}$ розлядаються поля дійсних чисел $\mathbb {R}$, комплексних чисел $\mathbb {C}$ і кватерніонів $\mathbb {H}$. Білінійна форма

$\sum _{k=1}^{p}x_{k}y_{k}-\sum _{k=p+1}^{n}x_{k}y_{k}$

називається дійсним симетричним випадком і позначається як $\mathbb {R} (p,q)$, де $p+q=n$. Потім він формулює зв'язок із традиційною термінологією.

Деякі дійсні симетричні випадки дуже важливі.

Додатно визначений випадок $\mathbb {R} (n,0)$ називається евклідовим простором, тоді як випадок одного мінуса, $\mathbb {R} (n-1,1)$ — простором Лоренца.

Якщо $n=4$, то простір Лоренца також називають простором Мінковського або простором-часом Мінковського.

Частинний випадок $\mathbb {R} (p,p)$ будемо називати розщепленим випадком.

Зв'язок з тензорним добутком

Згідно універсальної властивості тензорного добутку існує канонічна відповідність між білінійними формами у просторі $V$ і лінійними відображеннями $V\otimes V\rightarrow \mathbb {K}$. Якщо $B$ є білінійною формою у просторі $V$, то відповідне лінійне відображення визначається як

${\boldsymbol {v}}\otimes {\boldsymbol {w}}\mapsto B({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}}).$

В іншому напрямку, якщо $F\colon V\otimes V\rightarrow \mathbb {K}$ є лінійним відображенням, то відповідна білінійна форма задається композицією $F$ з білінійним відображенням $V\times V\rightarrow V\otimes V$, яка відображає $({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}})$ у ${\boldsymbol {v}}\otimes {\boldsymbol {w}}$.

Множина всіх лінійних відображень $V\otimes V\rightarrow \mathbb {K}$ є спряженим простором для $V\otimes V$, тому білінійні форми можна розглядати як елементи простору $(V\otimes V)^{\ast }$, який (для скінченновимірного простору $V$) канонічно ізоморфний простору $V^{\ast }\otimes V^{\ast }$.

Так само симетричні білінійні форми можна розглядати як елементи з ${\rm {Sym}}^{2}(V^{\ast })$ (друга симетрична степінь простору $V^{\ast }$), і знакозмінні білінійні форм як елементи з $\wedge ^{2}V^{\ast }$ (друга зовнішня степінь простору $V^{\ast }$).

На нормованих векторних просторах

Означення: Білінійна форма на нормованому векторному просторі $(V,||\cdot ||)$ є обмеженою, якщо існує константа $C$, що для всіх ${\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}}\in V$

$B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}})\leq C||{\boldsymbol {u}}||||{\boldsymbol {v}}||.$

Означення: Білінійна форма на нормованому векторному просторі $(V,||\cdot ||)$ є еліптичною, або коерцитивною, якщо існує константа $c>0$, така, що для всіх ${\boldsymbol {u}}\in V$

$B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {u}})\geq c||{\boldsymbol {u}}||^{2}.$

Узагальнення на модулі

Нехай задано кільце $R$ і правий $R$-модуль $M$ та його спряжений модуль $M^{\ast }$, відображення $B\colon M\times M\rightarrow \mathbb {K}$ називається білінійною формою, якщо

$B(u+v,x)=B(u,x)+B(v,x),$

$B(u,x+y)=B(u,x)+B(u,y),$

$B(\alpha x,x\beta )=\alpha B(u,x)\beta .$

для всіх $u,v\in M^{\ast }$, всіх $x,y\in M$ і всіх $\alpha ,\beta \in R$.

Відображення $(\cdot ,\cdot )\colon M^{\ast }\times M\rightarrow R\colon (u,x)\mapsto u(x)$ відоме як природне утворювання пар, яке також називають канонічною білінійною формою на $M^{\ast }\times M$.

Лінійне відображення $S\colon M^{\ast }\rightarrow M^{\ast }\colon u\mapsto S(u)$ індукує білінійну форму $B\colon M^{\ast }\times M\rightarrow R\colon (u,x)\mapsto (S(u),x)$, а лінійне відображення $T\colon M\rightarrow M\colon x\mapsto T(x)$ індукує білінійну форму $B\colon M^{\ast }\times M\rightarrow R\colon (u,x)\mapsto (u,T(x))$.

І навпаки, білінійна форма $B\colon M^{\ast }\times M\rightarrow R$ індукує $R$-лінійні відображення $S\colon M^{\ast }\rightarrow M^{\ast }\colon u\mapsto (x\mapsto B(u,x))$ і $T^{'}\colon M\rightarrow M^{\ast \ast }\colon x\mapsto (u\mapsto B(u,x))$. Тут $M^{\ast \ast }$ позначає подвійний спряжений модуль для модуля $M$.

Див. також

• Білінійне відображення
• Білінійний оператор
• Простір із внутрішнім добутком (предгільбертовий простір)
• Лінійна форма
• Полілінійна форма
• Квадратична форма
• Півторалінійна форма
• Полярний простір

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — ISBN 5-9221-0524-8.(рос.)
• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — Москва : Наука, 1998. — 320 с. — ISBN 5791300158.(рос.)* Adkins, William A.; Weintraub, Steven H. (1992), Algebra: An Approach via Module Theory, Graduate Texts in Mathematics, т. 136, Springer-Verlag, ISBN 3-540-97839-9, Zbl 0768.00003
• Bourbaki, N. (1970), Algebra, Springer
• Cooperstein, Bruce (2010), Ch 8: Bilinear Forms and Maps, Advanced Linear Algebra, CRC Press, с. 249—88, ISBN 978-1-4398-2966-0
• Grove, Larry C. (1997), Groups and characters, Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-16340-4
• Halmos, Paul R. (1974), Finite-dimensional vector spaces, Undergraduate Texts in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90093-3, Zbl 0288.15002
• Harvey, F. Reese (1990), Chapter 2: The Eight Types of Inner Product Spaces, Spinors and calibrations, Academic Press, с. 19—40, ISBN 0-12-329650-1
• Popov, V. L. (1987), Bilinear form, у Hazewinkel, M. (ред.), Encyclopedia of Mathematics, т. 1, Kluwer Academic Publishers, с. 390—392, архів оригіналу за 24 жовтня 2019, процитовано 6 травня 2021. Also: Білінійна форма, с. 390, на «Google Books»
• Jacobson, Nathan (2009), Basic Algebra, т. I (вид. 2nd), ISBN 978-0-486-47189-1
• Milnor, J.; Husemoller, D. (1973), Symmetric Bilinear Forms, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, т. 73, Springer-Verlag, ISBN 3-540-06009-X, Zbl 0292.10016
• Porteous, Ian R. (1995), Clifford Algebras and the Classical Groups, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, т. 50, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55177-9
• Shafarevich, I. R.; A. O. Remizov (2012), Linear Algebra and Geometry, Springer, ISBN 978-3-642-30993-9, архів оригіналу за 9 листопада 2014, процитовано 6 травня 2021
• Shilov, Georgi E. (1977), Silverman, Richard A. (ред.), Linear Algebra, Dover, ISBN 0-486-63518-X
• Zhelobenko, Dmitriĭ Petrovich (2006), Principal Structures and Methods of Representation Theory, Translations of Mathematical Monographs, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-3731-1

• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), Bilinear form, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Bilinear form на PlanetMath