Біліні́йна фо́рма (білінійний функціонал, білінійна функція) — це таке відображення декартового квадрата векторного простору в скалярне поле , що є лінійним за кожним зі своїх аргументів:

скалярне поле — це, зазвичай, дійсні числа чи комплексні числа .

Білінійна форма називається спряженою до форми і позначається .

Для випадку комплексних чисел цікавішими є півторалінійні форми, що є подібними до білінійних, але є спряжено-лінійними за одним з аргументів.

Скалярний добуток на є прикладом білінійної форми.[1].

Означення білінійної форми можна розширити на модулі над кільцем, де лінійне відображення замінюється гомоморфізмом модулів[en].

Якщо — поле комплексних чисел , тоді часто більш цікавими об'єктами є півторалінійні форми, які подібні до білінійних форм, але за одним з аргументів є лінійно-спряженими[en].

Координатне представленняРедагувати

Нехай   -вимірний векторний простір з базисом  .

Матрицю   розмірності  , елементи якої визначаються як  , називають матрицею білінійної форми у базисі  .

  • Якщо   — матриця   представляє вектор   у цьому базисі, аналогічно   відповідає іншому вектору  , то
 

де  квадратна матриця з елементами  .

  • Якщо   деякий інший базис в  , де  невироджена матриця, то
 

Тоді при переході до нового базису матриця білінійної форми зміниться на конгруентну матрицю:

 

Відображення у спряжений простірРедагувати

Будь-яка білінійна форма   на просторі   визначає пару лінійних відображень з простору   у спряжений до нього простір  . Визначимо   як

 
 

Часто ці відображення позначається як

 
 

де   вказує на слот, в який потрібно помістити аргумент результуючого лінійного функціоналу (див. каррінг).

Для скінченновимірного векторного простору  , якщо будь-яке з відображень   або   є ізоморфізмом, то тоді обидва вони є ізоморфізмами, і білінійну форму   називають невиродженою[en]. Більш точніше, для скінченновимірного векторного простору невиродженість означає, що кожен ненульовий елемент нетривіально поєднується з якимсь іншим елементом:

  для усіх   передбачає, що   i
  для усіх   передбачає, що  

Відповідне поняття для модуля над комутативним кільцем полягає в тому, що білінійна форма є унімодулярною, якщо відображення   є ізоморфізмом. Нехай задано скінченний породжений модуль над комутативним кільцем, утворення пар може бути ін'єктивним (отже, "невиродженим" у наведеному вище розумінні), але не унімодулярним. Наприклад, для цілих чисел утворення пар   є невиродженим, але неунімодулярним, оскільки індуковане відображення з   на   є множенням на 2.

Якщо простір   — скінченновимірний, тоді можна ототожнювати простір   з двічі спряженим простором  . Можна показати, що відображення   є транспонуванням[en] лінійного відображення   (якщо простір   нескінченновимірний, то   — транспонування  , обмежене образом простору   у просторі  ). Для заданого відображення   можна визначити транспоноване до нього через білінійну форму наступним чином

 

Лівий і правий радикали білінійної форми   є ядрами відображень   і  , відповідно;[2] вони є векторами, ортогональними до всього простору зліва та справа.[3]

Якщо простір   — скінченновимірний, тоді ранг відображення   дорівнює рангу відображення  . Якщо це значення дорівнює  , тоді відображення   і   є лінійними ізоморфізмами з простору   у простір  . У цьому випадку білінійна форма   є невиродженою. За теоремою про ранг ядра[en] це еквівалентно умові, що лівий та правий радикали будуть тривіальними. Для скінченновимірних просторів це часто приймається як означення невиродженості:

Означення: Відображення   є невиродженим, якщо з умови  , яка виконується для всіх  , випливає, що  .

Для будь-якого лінійного відображення   можна отримати білінійну форму   у просторі   як

 

Ця форма буде невиродженою тоді і лише тоді, коли відображення   є ізоморфізмом.

Якщо простір   є скінченновимірним тоді, відносно деякого базису простору  , білінійна форма є виродженою тоді і тільки тоді, коли визначник відповідної матриці дорівнює нулю. Аналогічно, невиродженою формою є форма для якої визначник асоційованої матриці ненульовий (матриця є несингулярною). Ці твердження не залежать від вибраного базису. Для модуля над комутативним кільцем унімодулярна форма є формою, для якої визначник асоційованої матриці дорівнює одиниці (наприклад, 1), що і обґрунтовує термінологію. Зауважимо, що форма, визначник якої не дорівнює нулю, але не є одиницею, буде невиродженою, але не унімодулярною, наприклад, форма   над полем цілих чисел.

Симетрична, кососиметрична та знакозмінна формиРедагувати

Визначаємо білінійну форму як

  • симетричну[en], якщо   для всіх  ;
  • знакозмінну[en], якщо   для всіх  ;
  • кососиметричну, якщо   для всіх  .
Твердження: Будь-яка знакозмінна форма є кососиметричною.
Доведення: Це можна побачити, розписавши  .

Якщо характеристика поля   не дорівнює 2, то справедливо і зворотне твердження: кожна кососиметрична форма є знакозмінною. Однак, якщо  , то кососиметрична форма є такою ж як симетрична форма, і існують симетричні/кососиметричні форми, які не є знакозмінними.

Білінійна форма є симетричною (відповідно, кососиметричною) тоді і лише тоді, коли її координатна матриця (відносно будь-якого базису) є симетричною (відповідно, кососиметричною). Білінійна форма є знакозмінною тоді і тільки тоді, коли її координатна матриця є кососиметричною, а діагональні елементи дорівнюють нулю (це випливає з кососиметричності при  ).

Білінійна форма є симетричною тоді і лише тоді, коли відображення   рівні ( ), і кососиметричною тоді і лише тоді, коли вони протилежні за знаком (( ). Якщо  , то білінійну форму можна розкласти на симетричну та кососиметричну частини наступним чином:

 

де   — відображення транспоноване до   (визначене вище).

 
  • Симетрична білінійна форма називається додатновизначеною (від'ємновизначеною), якщо  :   або  .

Додатновизначена білінійна форма задовільняє всі аксіоми скалярного добутку.

Симетрична білінійна формаРедагувати

Симетричні білінійні форми тісно пов'язані з квадратичними формами.

Симетричну білінійну форму A(x,y), називають полярною до квадратичної форми A(x,x). Матриця білінійної форми збігається з матрицею полярної до неї квадратичної форми в тому ж базисі.

  • Маючи білінійну форму   (не обов'язково симетричну), отримаємо квадратичну форму як:
 
  • І навпаки, маючи квадратичну форму  , використавши правило паралелограма, отримаємо асоційовану з нею симетричну білінійну форму:
 

Закон інерціїРедагувати

Похідна квадратична формаРедагувати

Для будь-якої білінійної форми   існує асоційована квадратична форма  , визначена як  .

Якщо  , то квадратична форма   визначається симетричною частиною білінійної форми   і не залежить від антисиметричної частини. У цьому випадку існує взаємнооднозначна відповідність між симетричною частиною білінійної форми та квадратичною формою, і є сенс говорити про симетричну білінійну форму асоційовану з квадратичною формою.

Якщо   і  , то такої відповідності між квадратичними формами та симетричними білінійними формами немає.

Рефлексивність та ортогональністьРедагувати

Означення: Білінійна форма   називається рефлексивною, якщо із   випливає, що і   для всіх  .

Означення: Нехай   — рефлексивна білінійна форма. Вектори  ,   простору   є ортогональними відносно  , якщо  .

Білінійна форма   є рефлексивною тоді і лише тоді, коли вона симетрична або кососиметрична.[4] За відсутності рефлексивності нам доводиться розрізняти ліву та праву ортогональність. У рефлексивному просторі лівий і правий радикали співпадають і називаються ядром або радикалом білінійної форми: підпростір усіх векторів, ортогональних з будь-яким іншим вектором. Вектор   з матричним представленням   знаходиться в радикалі білінійної форми з матричним представленням  , тоді і тільки тоді, коли  . Радикал — це завжди підпростір простору . Він тривіальний тоді і тільки тоді, коли матриця   невироджена, і, отже, тоді і тільки тоді, коли білінійна форма є невиродженою.

Нехай   є підпростором. Визначимо ортогональне доповнення[5] як

 

Для невироджених білінійної форми на скінченномірному просторі відображення   є бієкцією і розмірність ортогонального доповнення   дорівнює  .

Різні просториРедагувати

Більша частина теорії доступна для білінійного відображення з двох векторних просторів над тим самим базовим полем у це поле

 

Тут все ще маємо індуковані лінійні відображення з простору   у простір   і з простору   у простір  . Може трапитися так, що ці відображення є ізоморфізмами; припускаючи скінченновимірність, якщо одне є ізоморфізмом, інше також має бути ізоморфізмом. Коли це відбувається, білінійну форму   називають досконалим утворюванням пар.

У випадку скінченних розмірностей це еквівалентно тому, що утворювання пар є невиродженим (простори обов'язково мають однакові розмірності). Для модулів (замість векторних просторів), подібно до того як зараз, невироджена форма є слабшою за унімодулярну форму, невироджене утворювання пар є слабшим поняттям ніж досконале утворювання пар. Утворювання пар може бути невиродженим, не будучи досконалим. Наприклад,   вигляду   є невиродженим, але індукується множення на 2 при відображенні  .

Термінологія змінюється при розгляді різних білінійних форм. Наприклад, Ф. Різ Харві обговорює "вісім видів внутрішнього добутку".[6] Для їх визначення він використовує діагональні матриці  , що мають лише   або   для ненульових елементів. Деякі з "внутрішніх добутків" є симплектичними формами, а деякі — півторалінійними формами або ермітовими формами. Замість загального поля   розлядаються поля дійсних чисел  , комплексних чисел   і кватерніонів  . Білінійна форма

 

називається дійсним симетричним випадком і позначається як  , де  . Потім він формулює зв'язок із традиційною термінологією.[7]

Деякі дійсні симетричні випадки дуже важливі.

Додатно визначений випадок   називається евклідовим простором, тоді як випадок одного мінуса,  простором Лоренца.

Якщо  , то простір Лоренца також називають простором Мінковського або простором-часом Мінковського.

Частинний випадок   будемо називати розщепленим випадком.

Зв'язок з тензорним добуткомРедагувати

Згідно універсальної властивості тензорного добутку існує канонічна відповідність між білінійними формами у просторі   і лінійними відображеннями  . Якщо   є білінійною формою у просторі  , то відповідне лінійне відображення визначається як

 

В іншому напрямку, якщо   є лінійним відображенням, то відповідна білінійна форма задається композицією   з білінійним відображенням  , яка відображає   у  .

Множина всіх лінійних відображень   є спряженим простором для  , тому білінійні форми можна розглядати як елементи простору  , який (для скінченновимірного простору  ) канонічно ізоморфний простору  .

Так само симетричні білінійні форми можна розглядати як елементи з   (друга симетрична степінь[en] простору  ), і знакозмінні білінійні форм як елементи з   (друга зовнішня степінь простору  ).

На нормованих векторних просторахРедагувати

Означення: Білінійна форма на нормованому векторному просторі   є обмеженою, якщо існує константа  , що для всіх  
 
Означення: Білінійна форма на нормованому векторному просторі   є еліптичною, або коерцитивною[en], якщо існує константа  , така, що для всіх  
 

Узагальнення на модуліРедагувати

Нехай задано кільце   і правий  -модуль   та його спряжений модуль[en]  , відображення   називається білінійною формою, якщо

 
 
 

для всіх  , всіх   і всіх  .

Відображення   відоме як природне утворювання пар[en], яке також називають канонічною білінійною формою на  [8].

Лінійне відображення   індукує білінійну форму  , а лінійне відображення   індукує білінійну форму  .

І навпаки, білінійна форма   індукує  -лінійні відображення   і  . Тут   позначає подвійний спряжений модуль для модуля  .

Див. такожРедагувати

ДжерелаРедагувати

ПриміткиРедагувати

  1. Chapter 3. Bilinear forms — Lecture notes for MA1212. 16 січня 2021. Архів оригіналу за 22 січня 2021. Процитовано 6 травня 2021. 
  2. Jacobson, 2009, с. 346.
  3. Zhelobenko, 2006, с. 11.
  4. Grove, 1997.
  5. Adkins та Weintraub, 1992, с. 359.
  6. Harvey, 1990, с. 22.
  7. Harvey, 1990, с. 23.
  8. Bourbaki, 1970, с. 233.