Відкрити головне меню

Степінь многочлена — це найбільший із степенів всіх членів многочлена. Іноді степінь многочлена також називають порядком многочлена.

ПрикладиРедагувати

  • Многочлен   має степінь 9.
  • Многочлен   має степінь 3.
  • Многочлен   має степінь 5.

Щоб визначити степінь многочлена, його потрібно звести до канонічного вигляду, тобто розкрити всі дужки у виразі та звести подібні члени, тобто знайти суму коефіцієнтів при членах однакового степеня. Зазвичай (але не обов'язково) члени також впорядковуються за спаданням степенів. Наприклад, зведемо до канонічного вигляду вищенаведені многочлени:

  • для   після зміни порядку матимемо  ;
  • для   після розкриття дужок та зведення членів з однаковим степенем матимемо  ;
  • для   два подібні члени степеня 8 зникають, маємо  .

Поведінка при додаванні, відніманні та множенніРедагувати

Степінь суми (або різниці) двох многочленів або дорівнює найбільшому із степенів доданків, або менший від нього у випадку, коли члени з найбільшими степенями зникають.

 .
 .

Наприклад:

  • Степінь   дорівнює 3.

Зауважте, що 3 ≤ max(3,2)

  • Степінь   дорівнює 2.

Зауважте, що 2 ≤ max(3,3)

Степінь добутку двох многочленів дорівнює сумі їхніх степенів

 .

Наприклад:

  • Степінь   дорівнює 3+2 = 5.

Степінь нульового многочленаРедагувати

Многочлен   називають нульовим многочленом. Він не має жодного члена, тому, строго кажучи, він не має степеня. Вищенаведені правила про степені сум та добутків не можна застосовувати, якщо один з многочленів є нульовим.

Однак є зручним визначити степінь нульового многочлена як мінус нескінченність,  , і домовитися, що

 ,

і

 .

Наприклад:

  • Степінь суми   дорівнює 3.

Зауважте, що  .

  • Степінь різниці   дорівнює  .

Зауважте, що  .

  • Степінь добутку   дорівнює  .

Узагальнення на випадок многочленів з кількома зміннимиРедагувати

Для многочленів з кількома змінними степінь члена визначається як сума степенів змінних, що входять до цього члена; тоді степінь многочлена знову-таки визначається як максимум із степенів всіх його членів. Наприклад, многочлен   має степінь 4 - це степінь члена  .

Формули для степенів суми, різності й добутку многочленів залишаються справедливими для многочленів з кількома змінними.

Назви многочленів за степенемРедагувати

  • Степінь 1 - лінійний многочлен
  • Степінь 2 - квадратичний многочлен
  • Степінь 3 - кубічний многочлен

ДжерелаРедагувати