Однорідний многочлен
У математиці однорідний поліном (який іноді називають “quantic“ у старих текстах) — це поліном, в якого усі ненульові члени мають однаковий степінь.[1] Наприклад, — однорідний поліном -го степеня з двома змінними; сума показників у кожному доданку завжди дорівнює . Поліном не є однорідним, оскільки сума показників не збігається від члена до члена. Функція, визначена однорідним поліномом, завжди є однорідною функцією.
Алгебраїчна форма або просто форма — це функція, визначена однорідним поліномом.[2] Бінарна форма — це форма з двома змінними. Форма — це також функція, визначена у векторному просторі, яку можна представити як однорідну функцію координат для довільного базису.
Поліном степеня завжди однорідний; це просто елемент поля або кільця коефіцієнтів, зазвичай його називають константою або скаляром. Форма степеня є лінійною формою.[3] Форма степеня є квадратичною формою. У геометрії евклідова відстань — це квадратний корінь з квадратичної форми.
Однорідні поліноми є широко поширеними в математиці та фізиці.[4] Вони відіграють фундаментальну роль в алгебричній геометрії, оскільки проєктивний алгебраїчний многовид[en] визначається як множина спільних нулів множини однорідних поліномів.
Властивості
ред.Однорідний поліном визначає однорідну функцію.Це означає, що якщо багатовимірний поліном є однорідним степеня , то
виконується для будь-якого і для будь-якого поля, що містить коефіцієнти полінома . І навпаки, якщо вищезгадане співвідношення справедливе для нескінченної кількості , то поліном є однорідним степеня . Зокрема, якщо поліном однорідний, то
для будь-якого . Ця властивість є фундаментальною при визначенні проєктивного многовиду[en].
Будь-який ненульовий поліном можна єдиним чином розкласти як суму однорідних поліномів з різними степенями, які називаються однорідними компонентами полінома.
Для заданого кільця поліномів над полем (або, у загальному випадку, кільцем) однорідні поліноми степеня утворюють векторний простір (або модуль), який зазвичай позначається як . Наведене вище однозначне розкладання означає, що є прямою сумою модулів (сума за всіма невід'ємними цілими числами).
Розмірність векторного простору (або вільного модуля) — це кількість різних одночленів степеня з змінними (тобто максимальна кількість ненульових членів в однорідному поліномі степеня від змінних). Вона дорівнює біноміальному коефіцієнту
Однорідний поліном задовольняє тотожність Ейлера для однорідних функцій. Тобто, якщо є однорідним поліномом степеня від невідомих , то маємо (залежно від того, що є комутативним кільцем коефіцієнтів)
де означає формальну частинну похідну від відносно .
Гомогенізація
ред.Неоднорідний поліном можна гомогенізувати, ввівши додаткову змінну і визначивши однорідний поліном, який іноді позначають як :[5]
де степінь полінома . Наприклад, якщо
то
Гомогенізований поліном можна дегомогенізувати, ввівши додаткову змінну . Тобто
Див. також
ред.Примітки
ред.- ↑ Cox, David A.; Little, John; O'Shea, Donal (2005). Using Algebraic Geometry. Graduate Texts in Mathematics. Т. 185 (вид. 2nd). Springer. с. 2. ISBN 978-0-387-20733-9.
- ↑ Однак деякі автори не роблять чіткої різниці між поліномом і пов'язаною з ним функцією, терміни однорідний поліном та форма іноді вважаються синонімами.
- ↑ Лінійні форми визначаються лише для скінченновимірного векторного простору, тому їх слід відрізняти від лінійних функціоналів, які визначені для будь-якого векторного простору. “Лінійний функціонал“ рідко використовується для скінченновимірних векторних просторів.
- ↑ Однорідні поліноми у фізиці часто виникають як наслідок методу аналізу розмірностей, де вимірні величини повинні збігатися у реальних задачах.
- ↑ Cox, Little та O'Shea, 2005, с. 35
Література
ред.- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
Зовнішні посилання
ред.- Weisstein, Eric W. Однорідний многочлен(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.