Однорідний многочлен

У математиці однорідний поліном (який іноді називають “quantic“ у старих текстах) — це поліном, в якого усі ненульові члени мають однаковий степінь.[1] Наприклад, — однорідний поліном -го степеня з двома змінними; сума показників у кожному доданку завжди дорівнює . Поліном не є однорідним, оскільки сума показників не збігається від члена до члена. Функція, визначена однорідним поліномом, завжди є однорідною функцією.

Алгебраїчна форма або просто форма — це функція, визначена однорідним поліномом.[2]Бінарна форма — це форма з двома змінними. Форма — це також функція, визначена у векторному просторі, яку можна представити як однорідну функцію координат для довільного базису.

Поліном степеня завжди однорідний; це просто елемент поля або кільця коефіцієнтів, зазвичай його називають константою або скаляром. Форма степеня є лінійною формою.[3] Форма степеня є квадратичною формою. У геометрії евклідова відстань — це квадратний корінь з квадратичної форми.

Однорідні поліноми є широко поширеними в математиці та фізиці.[4] Вони відіграють фундаментальну роль в алгебричній геометрії, оскільки проєктивний алгебраїчний многовид[en] визначається як множина спільних нулів множини однорідних поліномів.

ВластивостіРедагувати

Однорідний поліном визначає однорідну функцію.Це означає, що якщо багатовимірний поліном   є однорідним степеня  , то

 

виконується для будь-якого   і для будь-якого поля, що містить коефіцієнти полінома  . І навпаки, якщо вищезгадане співвідношення справедливе для нескінченної кількості  , то поліном є однорідним степеня  . Зокрема, якщо поліном   однорідний, то

 

для будь-якого  . Ця властивість є фундаментальною при визначенні проєктивного многовиду[en].

Будь-який ненульовий поліном можна єдиним чином розкласти як суму однорідних поліномів з різними степенями, які називаються однорідними компонентами полінома.

Для заданого кільця поліномів   над полем (або, у загальному випадку, кільцем)   однорідні поліноми степеня   утворюють векторний простір (або модуль), який зазвичай позначається як  . Наведене вище однозначне розкладання означає, що   є прямою сумою модулів   (сума за всіма невід'ємними цілими числами).

Розмірність векторного простору (або вільного модуля)   — це кількість різних одночленів степеня   з   змінними (тобто максимальна кількість ненульових членів в однорідному поліномі степеня   від   змінних). Вона дорівнює біноміальному коефіцієнту

 

Однорідний поліном задовольняє тотожність Ейлера для однорідних функцій. Тобто, якщо   є однорідним поліномом степеня   від невідомих  , то маємо (залежно від того, що є комутативним кільцем коефіцієнтів)

 

де   означає формальну частинну похідну від   відносно  .

ГомогенізаціяРедагувати

Неоднорідний поліном   можна гомогенізувати, ввівши додаткову змінну   і визначивши однорідний поліном, який іноді позначають як  :[5]

 

де   степінь полінома  . Наприклад, якщо

 

то

 

Гомогенізований поліном можна дегомогенізувати, ввівши додаткову змінну  . Тобто

 

Див. такожРедагувати

ПриміткиРедагувати

  1. Cox, David A.; Little, John; O'Shea, Donal (2005). Using Algebraic Geometry. Graduate Texts in Mathematics 185 (вид. 2nd). Springer. с. 2. ISBN 978-0-387-20733-9. 
  2. Однак деякі автори не роблять чіткої різниці між поліномом і пов'язаною з ним функцією, терміни однорідний поліном та форма іноді вважаються синонімами.
  3. Лінійні форми визначаються лише для скінченновимірного векторного простору, тому їх слід відрізняти від лінійних функціоналів, які визначені для будь-якого векторного простору. “Лінійний функціонал“ рідко використовується для скінченновимірних векторних просторів.
  4. Однорідні поліноми у фізиці часто виникають як наслідок методу аналізу розмірностей, де вимірні величини повинні збігатися у реальних задачах.
  5. (Cox, Little та O'Shea, 2005, с. 35)

Зовнішні посиланняРедагувати

  • Media related to Homogeneous polynomials at Wikimedia Commons
  • Weisstein, Eric W. “Homogeneous Polynomial“. MathWorld.