Многочлен Гільберта

Функція Гільберта, ряд Гільберта і многочлен Гільберта градуйованої комутативною алгебри і скінченнопородженого градуйованого модуля — три тісно пов'язані поняття, які дозволяють виміряти ріст розмірності однорідних компонент алгебри.

Ці поняття були поширені на фільтровані алгебри і градуйовані або фільтровані модулі над цими алгебрами, а також на когерентні пучки над проективними схемами.

Многочлен Гільберта і ряд Гільберта відіграють важливу роль в обчислювальній алгебричній геометрії, оскільки вони надають найпростіший відомий спосіб обчислення розмірності і степеня алгебричного многовиду, заданого явними поліноміальними рівняннями.

Означення та основні властивості

Адитивні функції на скінченнопороджених градуйованих модулях

Нехай $S=\bigoplus _{i\geq 0}S_{i}\$ — градуйоване кільце Нетер. Тоді кільце кільце $S_{0}$ є нетеровим, і $S_{0}$ -алгебра S є породженою однорідними елементами $x_{1},...,x_{h}$ додатних степенів $d_{1},...,d_{h}.$ Нехай $M=\bigoplus _{i\geq 0}M_{i}\$ — скінченнопороджений градуйований S-модуль. Він є породженим скінченною кількістю однорідних елементів. Також довільний модуль $M_{n}$ є скінченнопородженим $S_{0}$ -модулем.

Нехай $\lambda$ — деяка адитивна функція зі значеннями у множині $\mathbb {Z}$ , визначена на класі всіх скінченнопороджених $S_{0}$ -модулів. Адитивність у даному випадку означає, що для довільної короткої точної послідовності:

0\;\rightarrow \;A\;\rightarrow \;B\;\rightarrow \;C\;\rightarrow \;0

виконується рівність $\lambda (A)-\lambda (B)+\lambda (C)=0.$

Рядом Гільберта — Пуанкаре для градуйованого модуля M і адитивної функції $\lambda$ називається степеневий ряд:

HS(t)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda (M_{n})\,t^{n}.

Сума ряду Гільберта — Пуанкаре є раціональною функцією

HS(t)={\frac {Q(t)}{\prod _{i=1}^{h}(1-t^{d_{i}})}}\,,

де $Q$ — многочлен з цілими коефіцієнтами.

Якщо $S$ є породженим елементами степеня 1, то сума ряду Гільберта — Пуанкаре може бути переписана як

HS_{S}(t)={\frac {P(t)}{(1-t)^{\delta }}}\,,

де $P$ — многочлен з цілими коефіцієнтами.

У цьому випадку розклад цієї раціональної функції в ряд має вигляд

HS(t)=P(t)\,\left(1+\delta \,t+\cdots +{\binom {n+\delta -1}{\delta -1}}\,t^{n}+\cdots \right)

де біноміальний коефіцієнт ${\binom {n+\delta -1}{\delta -1}}$ дорівнює $\;{\frac {(n+\delta -1)(n+\delta -2)\cdots (n+1)}{(\delta -1)!}}\;$ при $n>-\delta$ і нулю в іншому випадку.

Якщо $\textstyle P(t)=\sum _{i=0}^{d}a_{i}t^{i},$ то коефіцієнтом при $t^{n}$ в $HS(t)$ є

\lambda (M_{n})=\sum _{i=0}^{d}a_{i}{\binom {n-i+\delta -1}{\delta -1}}\,.

При $n\geq i-\delta +1,$ член з індексом $i$ в цій сумі є многочленом від $n$ степеня $\delta -1$ зі старшим коефіцієнтом $\sum _{i=0}^{d}a_{i}/(\delta -1)!.$ Це показує, що існує єдиний многочлен $HP(n)$ з раціональними коефіцієнтами, що дорівнює $\lambda (M_{n})$ при досить великих $n$ . Цей многочлен називається многочленом Гільберта.

Скінченнопороджені градуйовані алгебри над кільцями Артіна

Нехай при попередніх умовах кільце $S_{0}$ є кільцем Артіна (зокрема, у важливому частковому випадку полем). Оскільки кожен модуль $M_{n}$ є скінченнопородженим $S_{0}$ -модулем, то $M_{n}$ є нетеровим і артіновим модулем. Звідси випливає, що довжина $l(M_{n})$ є скінченним цілим числом. У випадку, якщо $S_{0}$ є полем то довжина $M_{n}$ є рівною розмірності векторного простору над $S_{0}$ . Також довжина модуля є адитивною функцією.

Функція : $HF_{M}\;:\;n\mapsto l(M_{n})$ називається функцією Гільберта градуйованого модуля $M.$ Вона відповідно задає ряд Гільберта — Пуанкаре, який у цьому випадку переважно називають рядом Гільберта і многочлен Гільберта.

Ряди і многочлени Гільберта — Самюеля

Одним із найважливіших часткових випадків у комутативній алгебрі є випадок фільтрацій для локальних нетерових кілець.

Нехай R — локальне нетерове кільце із максимальним ідеалом ${\mathfrak {m}},$ а ${\mathfrak {m}}^{n}\subset I\subset {\mathfrak {m}}$ — деякий ${\mathfrak {m}}$ -примарний ідеал. Тоді кільце $R/I$ буде артіновим. Нехай M — скінченнопороджений R-модуль і $M_{n}=I^{n}M.$

Нехай $G(R)=\bigoplus _{i\geq 0}I^{n}/I^{n+1},\ G(M)=\bigoplus _{i\geq 0}M_{n}/M_{n+1}\ .$ Тоді G(R) є градуйованою R/I-алгеброю скінченно породженою ${\bar {x}}_{1},\ldots ,{\bar {x}}_{s}\in I/I^{2},$ де елементи $x_{1},\ldots ,x_{s}$ породжують ідеал I. G(M) є скінченнопородженим G(R)-модулем.

Відповідно для G(M) всі довжини $l(M_{n}/M_{n+1})$ є скінченними і можна ввести відповідну функцію Гільберта, ряд Гільберта і заданий ними многочлен Гільберта.

Із скінченності усіх $l(M_{n}/M_{n+1})$ випливають також скінченності довжин $l(M/M_{n+1}).$ Визначені при цьому функція і ряд називаються функцією Гільберта — Самюеля і рядом Гільберта — Самюеля. Функція Гільберта — Самюеля теж є поліноміальною і відповідний многочлен називається многочленом Гільберта — Самюеля. Його степінь не залежить від вибору ${\mathfrak {m}}$ -примарного ідеалу.

Градуйовані алгебри і кільця многочленів

Для кільця многочленів $R_{n}=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ від $n$ змінних значення функції Гільберта $HF_{R_{n}}(k)$ є рівним розмірності простору однорідних многочленів степеня k. Це значення записується через біноміальні коефіцієнти:

HF_{R_{n}}(k)={{k+n-1} \choose {n-1}}={\frac {(k+1)\cdots (k+n-1)}{(n-1)!}}\,.

Дана функція є очевидно поліноміальною степеня n - 1 від змінної k і многочлен Гільберта записується теж як $HP_{R_{n}}(k)={{k+n-1} \choose {n-1}}.$

Ряд Гільберта у даному випадку задає раціональну функцію

HS_{R_{n}}(t)={\frac {1}{(1-t)^{n}}}\,.

Нехай тепер $F\in R_{n}$ — однорідний многочлен степеня m і $A=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]/(F).$ Тоді функція Гільберта є рівною

HF_{A}(k)={\begin{cases}{{k+n-1} \choose {n-1}},&k<m\\{{k+n-1} \choose {n-1}}-{{k+n-m-1} \choose {n-1}},&k\geqslant m\end{cases}}.

Многочлен Гільберта у цьому випадку є рівним:

HP_{A}={{k+n-1} \choose {n-1}}-{{k+n-m-1} \choose {n-1}}.

Степінь многочлена у цьому випадку є рівною n - 2, а старший коефіцієнт — ${\frac {m}{(n-2)!}}.$

Кільця многочленів і їх фактори за однорідними ідеалами є типовими прикладами градуйованих алгебр. Навпаки, якщо $S$ — градуйована алгебра над полем $K$ , породжена $n$ однорідними елементами $g 1,..., g n$ степеня 1, то відображення, яке переводить $X i$ в $g i$ , визначає гомоморфізм градуювальних кілець з $R_{n}=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ на $S$ . Його ядро — однорідний ідеал $I$ , і це визначає ізоморфізм градуйованих алгебр між $R_{n}/I$ і $S$ .

Таким чином, градуйовані алгебри, породжені однорідними елементами степеня 1 є ізоморфними факторкільцям кілець многочленів за однорідними ідеалами.

Властивості ряду Гільберта

Фактор по елементу, який не є дільником нуля

Нехай $A$ — градуйована алгебра над полем K і $f$ — однорідний елемент $A$ степеня $d$ , який не є дільником нуля. Тоді

HS_{A/(f)}(t)=(1-t^{d})\,HS_{A}(t)\,.

Це випливає з адитивності для точної послідовності

0\;\rightarrow \;A^{[d]}\;{\xrightarrow {f}}\;A\;\rightarrow \;A/f\rightarrow \;0\,,

де стрілка з буквою $f$ — множення на $f$ , і $A^{[d]}$ — градуйований модуль , отриманий з $A$ зміщенням степенів на $d$ , так що множення на $f$ має степінь 0. зокрема , $HS_{A^{[d]}}(t)=t^{d}\,HS_{A}(t)\,.$

Степінь проективного многовида і теорема Безу

Ряд Гільберта дозволяє порахувати степінь алгебричного многовида як значення в 1 чисельника ряду Гільберта. В такий спосіб можна також отримати просте доведення теореми Безу.

Розглянемо проективну алгебричну множину $V$ розмірності більшої нуля, задану як множину нулів однорідного ідеалу $I\subset k[x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}]$ , де $k$ — поле, і нехай $R=k[x_{0},\ldots ,x_{n}]/I$ . Якщо $f$ — однорідний многочлен степеня $\delta$ , який не є дільником нуля в $R$ , точна послідовність

0\;\rightarrow \;R^{[\delta ]}\;{\xrightarrow {f}}\;R\;\rightarrow \;R/\langle f\rangle \;\rightarrow \;0,

показує, що

HS_{R/\langle f\rangle }(t)=(1-t^{\delta })HS_{R}(t).

Розглядаючи чисельники, отримуємо доведення наступного узагальнення теореми Безу:

Якщо $f$ — однорідний многочлен степеня $\delta$ , який не є дільником нуля в $R$ , то степінь перетину $V$ з гіперповерхнею, заданою $f$ , дорівнює добутку степеня $V$ на $\delta$ .

Більш геометрично це можна переформулювати так: якщо проективна гіперповерхня степеня $d$ не містить жодної компоненти алгебричної множини степеня $δ$ , то степінь їх перетину дорівнює $dδ$ .

Звичайна теорема Безу легко виводиться з цього твердження, якщо починати з гіперповерхні і послідовно перетинати її з $n -1$ іншою гіперповерхнею.

Див. також

Література

Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — Москва : Мир, 1972. — 160 с.(рос.)
Gopalakrishnan, N. S. (1984). Commutative Algebra. Oxonian Press. с. 290.
Schenck, Hal (2003), Computational Algebraic Geometry, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-53650-9, MR 0011360