Максимальним ідеалом кільця в абстрактній алгебрі називається всякий власний ідеал кільця, що не міститься в жодному іншому власному ідеалі.

ВластивостіРедагувати

  • Характеристична властивість максимального ідеалу: ідеал   кільця   максимальний, тоді і тільки тоді, коли фактор-кільце   є простим кільцем.
Дійсно, якщо кільце   має власний ідеал  , то   буде власним ідеалом кільця  , що суперечить максимальності ідеалу  .

Далі всі кільця вважаються кільцями з одиницею

  • Теорема Круля: Множина всіх ідеалів кільця індуктивно впорядкована відношенням включення, тому згідно з (лемою Цорна) у довільному кільці з одиницею існують максимальні ідеали, окрім того, для будь-якого власного ідеалу   кільця   існує максимальний ідеал кільця  , який його містить.
  • Якщо елемент   кільця   не оборотний, тоді всі елементи кільця, кратні йому, утворюють власний ідеал. Тому кожен необоротний елемент кільця міститься в деякому максимальному ідеалі. Якщо елемент   оборотний, всякий ідеал, який його містить, збігається з кільцем, тому оборотні елементи не містяться в жодному власному ідеалі, і відповідно в жодному максимальному.
  • Якщо всі необоротні елементи кільця   утворюють ідеал, він є максимальним, і притому єдиним — інших максимальних ідеалів в кільці   немає. (Вірним є і обернене твердження: якщо в кільці   існує єдиний максимальний ідеал , він включає всі необоротні елементи кільця.) В цьому випадку кільце   називається локальним.
  • Для комутативного кільця ідеал   є максимальним тоді і тільки тоді, коли фактор-кільце по цьому ідеалу є полем.
  • Якщо кільце   має структуру банахової алгебри над полем комплексних чисел  , фактор-кільце по максимальному ідеалу   ізоморфне  . В цьому випадку ідеал   визначає гомоморфізм кільця   в полі  , ядром якого є ідеал  .
    Для кожного a існує єдина  , таке що   (e - одиниця алгебри R). Відповідність   і є той самий гомоморфізм.
  • З характеристичної властивості випливає, що довільний максимальний ідеал є простим.
Для кілець без одиниці максимальні ідеали можуть не бути простими. Наприклад в кільці парних цілих чисел   ідеал   є максимальним, проте   хоч  

ПрикладиРедагувати

  • У кільці цілих чисел   максимальними ідеалами є всі прості ідеали: якщо p - просте число, тоді ідеал (p)=pZ максимальний. Наприклад, парні числа утворюють максимальний ідеал, а числа, кратні 4 - утворюють, але не максимальний - цей ідеал міститься в ідеалі парних чисел.
  • У кільці многочленів k[X,Y], де k - алгебраїчно замкнуте поле, максимальні ідеали мають вигляд  .
  • Кільце формальних степеневих рядів   над полем kлокальне кільце. Необоротними елементами в цьому кільці є ті ряди вільний член яких рівний нулю. Вони утворюють ідеал,що є єдиний максимальним ідеалом у цьому кільці.
  • У кільці R = C[a, b] неперервних функцій із значеннями у множині дійсних чисел на відрізку множина функцій, що приймають значення 0 в деякій точці   є максимальним ідеалом. Усі максимальні ідеали кільця R мають такий вигляд.
Якщо позначити   для деякої точки   то Ix є ідеалом і факторкільце   є ізоморфним полю дійсних чисел, тож Ix є максимальним ідеалом.
Навпаки, якщо I є власним ідеалом кільця R = C[a, b], то множина   є непустою, тобто існує точка   для якої   для всіх   Справді якщо Z(I) є пустою множиною, то   є відкритим покриттям [a, b] і через компактність відрізка можна вибрати скінченне підпокриття, наприклад для функцій   Тоді функція   належить I і в усіх точках [a, b] має ненульові значення. Оскільки   то   і I = R. Це суперечить припущенню, що I є власним ідеалом. Тому існує   для якої   для всіх   Тоді I є підідеалом ідеалу   який і є максимальним.

Кільця без максимальних ідеалівРедагувати

Теорема Круля гарантує існування максимального ідеалу для кілець з одиницею. Проте в кільцях без одиниці максимальні ідеали можуть не існувати. Прикладом такого кільця може бути кільце рядів: :  де   і   дійсні числа для яких  .

Для ненульового такого ряду можна вважати   Для   де   і   визначимо  . Очевидно   і R є областю цілісності без одиниці.

Припустимо I максимальний ідеал кільця R. Нехай   і  . Визначимо  . Тоді J є ідеалом R. Оскільки   то  .

Отже J є власним ідеалом в R. Також   оскільки  . Нехай  . Якщо f = 0, тоді очевидно  . Розглянемо тепер  . Припустимо  . Тоді   і звідси  , що суперечить визначенню g. Тому   і звідси  . Отже  . Відповідно  , що суперечить максимальності ідеалу  .  

ЛітератураРедагувати