Формальний степеневий ряд

Формальний степеневий ряд — формальний алгебраїчний вираз виду:

в якому коефіцієнти належать деякому кільцю . На відміну від степеневих рядів у аналізі формальним степеневим рядам не надається числових значень і відповідно не має змісту збіжність таких рядів для числових аргументів. Формальні степеневі ряди досліджуються у алгебрі, топології, комбінаториці.

Алгебраїчні операціїРедагувати

В   можна наступним чином визначити додавання, множення, формальне диференціювання і формальну суперпозицію. Нехай:

 

Тоді:

 
 
  (при цьому необхідно щоб  )
 

Таким чином формальні степеневі ряди утворюють кільце.

ТопологіяРедагувати

В множині   також можна задати топологію, що породжується наступною метрикою:

 
де k найменше натуральне число таке що akbk;

Можна довести, що визначені множення і додавання в цій топології є неперервними, отже формальні степеневі ряди з визначеною топологією утворюють топологічне кільце.

Оборотні елементиРедагувати

Формальний ряд:

 

в R[[X]] є оборотним в R[[X]] тоді і лише тоді коли a0 є оборотним в R. Це є необхідним оскільки вільний член добутку рівний  , і достатнім, оскільки коефіцієнти тоді визначаються за формулою:

 

ВластивостіРедагувати

Див. такожРедагувати

ПосиланняРедагувати