У комбінаториці генератри́са або твірна функція (англ. generating function) послідовності  — це формальний степеневий ряд

.

Експоненційна генератриса (твірна функція) — це формальний степеневий ряд

.

Доволі часто генератриса (твірна функція) послідовності є одночасно рядом Тейлора відомої аналітичної функції, і це можна використовувати при дослідженні властивостей самої послідовності. Тим не менше, генератрисі необов'язково відповідає аналітична функція.

Наприклад, два ряди

і

мають радіус збіжності нуль, тобто розбігаються в усіх точках, крім нуля, а в нулі обидва дають 1, тобто як функції вони збігаються; тим не менше, як генератриси (тобто формальні ряди) вони різні.

Генератриси (твірні функції) надають можливість просто описувати складні послідовності в комбінаториці, а іноді допомагають знайти для них явні формули. Метод генератрис був розроблений Ейлером у 50-х роках XVIII століття.

ВластивостіРедагувати

  • (Експоненціальна) генератриса (твірна функція) суми (чи різниці) двох послідовностей дорівнює сумі (чи різниці) відповідних (експоненціальних) генератрис.
  • Якщо   і   — генератриси послідовностей   і  , то  , де  .
  • Якщо   і   — експоненційні генератриси послідовностей   і  , то  , де  .

ПрикладиРедагувати

Нехай   дорівнює кількості варіантів представлення числа   у вигляді  , де   — невід'ємні цілі числа і   фіксовано, тоді

 

Тепер число   можна знайти як коефіцієнт при   в розкладі   по степеняx  . Для цього можна скористатися визначенням біноміальних коефіцієнтів або ж безпосередньо взяти n разів похідну в нулі:

 

ДодатковоРедагувати

Переклад «генератриса» терміну «generating function» з англійської є не досить вдалим. Краще використовувати натомість більш вживаний термін в українській математичній літературі — «твірна функція», якому відповідає російське «производящая функция» [1][недоступне посилання з липня 2019].

Див. такожРедагувати

ПосиланняРедагувати