Відкрити головне меню

Аналіти́чна фу́нкціяфункція, яка збігається зі своїм рядом Тейлора в околі будь-якої точки області визначення.

У випадку функції комплексної змінної ця властивість збігається із властивістю голоморфності.

Зміст

ОзначенняРедагувати

Означення 1Редагувати

Однозначна функція   називається аналітичною в точці  , якщо вона розкладається в ряд Тейлора в околі з центром у цій точці, і цей розклад збігається до функції   (в цьому околі). Тобто це функції, які можуть бути виражені степеневими рядами.

Дійсна функція   дійсного аргументу   називається аналітичною функцією у точці   числової осі, якщо можна вказати такий окіл   точки  , в якому   визначена і може бути виражена формулою виду:

 

де   — дійсні числа.

Можна показати, що  ,  , де  

(Дивись Тейлора ряд).

ЗауваженняРедагувати

Функція, аналітична в кожній точці інтервалу  , називається аналітичною функцією на цьому інтервалі. Така функція необмежено диференційована на  , але обернене твердження взагалі не має сили, як показує хоч би приклад функції

 
 

де

що

не є А. ф. у точці x = 0.

Аналогічно визначається дійсна аналітична функція кількох дійсних аргументів. Усі ці визначення без принципових ускладнень поширюються і на комилексно-значні функції.

Означення 2Редагувати

Функцію   комплексного аргументу   називається аналітичною функцією від   у точці   комплексної числової площини, якщо   визначена в певному круговому околі   точки   і може бути виражена в цьому околі формулою виду:

 

де   — певні комплексні числа.

Можна показати, що

 ,  

(див. Тейлора ряд).

Означення 3Редагувати

Функція, аналітична в кожній точці якоїсь області   комплексної числової площини, називається аналітичною в області  .

ЗауваженняРедагувати

Виявляється, що аналітичність   в області   є наслідком звичайної її диференційовності в  . Аналітична функція кількох комплексних аргументів визначають аналогічно. Аналітичні в області   функції тісно пов'язані з гармонічними функціями в цій області, що часто зустрічаються при розв'язуванні так званих плоских задач математичної фізики. Цим в основному пояснюється і важливе застосовне значення самих аналітичних функцій.

Розвиток теорії аналітичних функційРедагувати

У розвитку теорії аналітичних функцій важливу роль відіграли праці Леонарда Ейлера, Оґюстена-Луї Коші, Бернгард Рімана, Карла Вейєршраса.

В дореволюційній Росії істотні результати в застосуванні цієї теорії одержали Софія Василівна Ковалевська, Микола Єгорович Жуковський, С. О. Чаплигін, Г. В. Колосов. Після Жовтневої соціалістичної революції великих успіхів у розвитку теорії аналітичних функцій та їх застосуванні здобули наукові школи, очолювані академіком АН СРСР і УРСР М. О. Лаврентьєвим і професором Г. М. Голузіним. Розроблення проблематики теорії аналітичних функцій в СРСР тісно пов'язане з потребами народного господарства (авіабудівництва, будівництва гідротехнічних споруд та ін.). В УРСР над розробленням проблем теорії аналітичних функцій працюють члени-кореспонденти АН УРСР Наум Ахієзер і М. Г. Крейн, професори Б. Я. Левін, Володимир Олександрович Марченко, Г. М. Положій, В. А. Зморович, П. П. Фільчаков та ін.

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • Українська радянська енциклопедія : у 12 т. / гол. ред. М. П. Бажан ; редкол.: О. К. Антонов та ін. — 2-ге вид. — К. : Головна редакція УРЕ, 1974–1985.
  • Ахієзер М. І. Курс теорії функцій. К., 1933;
  • Соколов Ю. Д Елементи теорії функцій комплексної змінної. К., 1954;
  • Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. Изд. 9. М., 1954,
  • Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. М — Л., 1950;
  • Маркушевич А. И. Кратний курс теории аналитических функций. М., 1957;
  • Маркушевич А. И. Очерки по истории теории аналитических функций. М.—Л., 1951.

ПосиланняРедагувати