Відкрити головне меню

Непере́рвна фу́нкція — одне з основних понять математичного аналізу. Неперервні функції трапляються набагато частіше, ніж диференційовні, множина всіх неперервних функцій замкнена відносно арифметичних операцій (за винятком ділення) і композиції та утворює чи не найважливіший клас функцій в аналізі. Проте строге математичне означення неперервної функції, яке належить Коші, — порівняно нещодавнє, і потребує просунутого рівня математичної абстракції. Інтуїтивне ж означення таке: функція дійсної змінної неперервна, якщо малим змінам аргумента відповідають малі зміни значення функції, що можна записати так: коли Це означає, що графік неперервної функції не має стрибків, тобто може бути накреслений «не відриваючи олівець від паперу». Всі елементарні функції — неперервні на своїй області визначення.

Зміст

ОзначенняРедагувати

 
Приклад неперервної функції
 
Приклад розривної функції в точці  . Функція не є неперервною зліва точки  
    проте є неперервною справа:
   .

Функція   дійсної змінної, яка означена в області  , неперервна в точці   якщо для довільного   знайдеться таке   (яке залежить від  ), що з   випливає   Функція   неперервна в області  , якщо   неперервна в кожній точці цієї області.


Нехай  ,   — гранична точка множини A.

Означення неперервності в точці  Редагувати

Функція f називається неперервною в точці   якщо:

  1. функція f(x) визначена в точці x0.
  2. існує границя  
  3.  .

Означення неперервності в точці   за КошіРедагувати

Функція f називається неперервною в точці   якщо:    , що   =>  

Означення неперервності в точці   за ГейнеРедагувати

Функція f називається неперервною в точці   якщо:  , якщо  , то  .

Точки розривуРедагувати

Якщо умова, що входить у визначення неперервності функції, в деякій точці порушується, то кажуть, що розглянута функція має в даній точці розрив. Інакше кажучи, якщо  —  значення функції  в точці  , то межа такої функції (якщо він існує) не збігається з  . Мовою околів умова розривності функції    в точці   є запереченням умови неперервності розглянутої функції в даній точці, а саме: існує такий окіл точки   в області значень функції  , що як би ми близько не підходили до точки   в області визначення функції  завжди знайдуться такі точки, образи яких будуть за межами околу точки  .

Класифікація точок розриву в R¹ Редагувати

Класифікація розривів функцій  залежить від того, як влаштовані множини X та Y. Далі наведено класифікацію для найпростішого випадку функції  . Подібним чином класифікують і особливі точки  (точки, де функція не визначена).

Якщо функція має розрив в даній точці (тобто границя функції в даній точці відсутня або не збігається зі значенням функції в даній точці), то для числових функцій виникає два можливих варіанти, пов'язаних з існуванням у числових функцій односторонніх границь:

  • якщо обидві односторонні границі існують і скінченні, то таку точку називають точкою розриву першого роду. До точок розриву першого роду відносять усувні розриви і стрибки.
  • якщо хоча б одна з односторонніх границь не існує або не є скінченою величиною, то таку точку називають точкою розриву другого роду. До точок розриву другого роду відносять полюси і точки суттєвого розриву.

Усувна точка розривуРедагувати

Якщо границя функції існує і скінченна, але функція не визначена в цій точці, або границя не збігається зі значенням функції в даній точці:  , то точка   називається точкою усувного розриву функції   (в комплексному аналізі — усувна особлива точка). Якщо «виправити» функцію   у точці усувного розриву і покласти  , то вийде функція, неперервна в даній точці. Така операція над функцією називається довизначенням функції до неперервної або довизначенням функції за неперервністю, що і обґрунтовує назву точки, як точки усувного розриву.

Точка розриву «стрибок»Редагувати

Розрив «стрибок» виникає, якщо

 .

Точка розриву «полюс»Редагувати

Розрив «полюс» виникає, якщо одинa з односторонніх границь нескінченнa.

  або  .

Точка суттєвого розривуРедагувати

У точці суттєвого розриву одна з односторонніх границь взагалі відсутня.

Класифікація ізольованих особливих точок в Rn, n>1Редагувати

Для функцій   та   немає потреби працювати з точками розриву, але нерідко доводиться працювати з особливими точками (точками, де функція не визначена). Класифікація подібна.

  • Якщо  , то це усувна особлива точка (аналогічно функції дійсного аргументу).
  • Полюс визначається як  . В багатовимірних просторах, якщо модуль числа росте, вважається, що  , яким шляхом б він не ріс.
  • Якщо границя взагалі не існує, це суттєва особлива точка.

Поняття «стрибок» відсутнє. Те, що в   вважається стрибком, в просторах більших розмірностей — суттєва особлива точка.

ВластивостіРедагувати

ЛокальніРедагувати

  • Функція, неперервна в точці  , є обмеженою в деякому околі цієї точки.
  • Якщо функція   неперервна в точці   і   (або  ), то   (або  ) для всіх , досить близьких до  .
  • Якщо функції   та   неперервні в точці  ,то функції   та   теж неперервні в точці  .
  • Якщо функції   та   неперервні в точці   і при цьому  , то функція   теж неперервна в точці  .
  • Якщо функція   неперервна в точці   та функція   неперервна в точці  , то їх композиція   неперервна в точці  .

ГлобальніРедагувати

  • Областю значень функції  , неперервної на відрізку  , є відрізок   де мінімум і максимум беруться по відрізку  .
  • Якщо функція   неперервна на відрізку   та   то існує точка   в якій  .
  • Якщо функція   неперервна на відрізку   і число   задовольняє нерівності   або нерівності   то існує точка   у котрій  .
  • Неперервне відображення відрізка в дійсну пряму ін'єктивне в тому і тільки в тому випадку, коли дана функція на відрізку строго монотонна .
  • Монотонна функція на відрізку   неперервна в тому і тільки в тому випадку, коли область її значень є відрізком з кінцями   та  .
  • Якщо функції   и   неперервні на відрізку   , причому   та   то існує точка   в якій   Звідси, зокрема, випливає, що будь-яке неперервне відображення відрізка в себе має хоча б одну нерухому точку.

ПрикладиРедагувати

Елементарні функціїРедагувати

Довільні многочлени , раціональні функції , показові функції , логарифми , тригонометричні функції (прямі і зворотні) неперервні скрізь у своїй області визначення.

Функція з усувним розривомРедагувати

Функція   задається формулою

 

неперервна в будь-якій точці   Точка   є точкою усувного розриву, бо границя функції

 

Функція знакаРедагувати

функція

 

називається функцією знака.

Ця функція неперервна в кожній точці  .

Точка   є точкою розриву першого роду , причому

 , в той час як в самій точці функція обертається в нуль.

Ступінчаста функціяРедагувати

Ступінчаста функція, яка визначається як

 

є всюди неперервна, крім точки  , де функція терпить розрив першого роду. Проте, в точці   існує правобічна границя, яка збігається зі значенням функції в даній точці. Таким чином, дана функція є прикладом неперервної справа функції на всій області визначення .

Аналогічно, ступінчаста функція, яка визначається як

 

є прикладом неперервної зліва функції на всій області визначення .

Функція ДіріхлеРедагувати

Докладніше: Функція Діріхле

функція

 

називається функцією Діріхле . По суті, функція Діріхле - це характеристична функція множини раціональних чисел . Ця функція є всюди розривної функцією , оскільки на кожному інтервалі існують як раціональні, так і ірраціональні числа.

Функція РіманаРедагувати

функція

 

називається функцією Рімана або функцією Тома.

Ця функція є неперервною всюди у множині ірраціональних чисел ( ), оскільки границя функції в кожній точці дорівнює нулю.

Варіації і узагальненняРедагувати

Рівномірна неперервністьРедагувати

Функція   називається рівномірно неперервної на  , якщо для будь-якого   існує   таке, що для будь-яких двох точок   і   яких, що  , виконується  .

Кожна рівномірно неперервна на множині   функція, очевидно, є також і неперервною на ньому. Зворотне, взагалі кажучи, невірно. Однак, якщо область визначення - компакт, то неперервна функція виявляється також і рівномірно неперервною на даному відрізку.

НапівнеперервністьРедагувати

Існує дві симетричні одна до одної властивості - напівнеперервна знизу і напівнеперервна зверху :
  • функція   напівнеперервна знизу в точці  , якщо для будь-якого   існує така околиця  , що   для будь-якого  ;
  • функція   називається напівнеперервна зверху в точці  , якщо для будь-якого   існує такий окіл точки  , що   для будь-якого  .

Між неперервністю і напівнеперервністю є такий зв'язок:

  • якщо взяти функцію  , неперервну в точці  , і зменшити значення   (на кінцеву величину), то ми отримаємо функцію, напівнеперервну знизу в точці  ;
  • якщо взяти функцію  , неперервну в точці  , і збільшити значення   на кінцеву величину), то ми отримаємо функцію, напівнеперервну зверху в точці  .

Відповідно до цього можна допустити для напівнеперервних функцій нескінченні значення:

  • якщо  , то будемо вважати таку функцію напівнеперервна знизу в точці  ;
  • якщо  ,то будемо вважати таку функцію напівнеперервна зверху в точці  .

Одностороння неперервністьРедагувати

Функція   називається односторонньо неперервною зліва (справа) в кожній точці   її області визначення, якщо для односторонньої границі виконується рівняння:    

Неперервність майже всюдиРедагувати

На дійсній прямій зазвичай розглядається проста лінійна міра Лебега. Якщо функція   така, що вона неперервна всюди на  , крім, можливо, множини міри нуль, то така функція називається неперервною майже всюди .

У тому випадку, коли множина точок розриву функції не більше ніж зліченна, ми отримуємо клас інтегрованих за Ріманом функцій (див. Критерій інтегрованості функції за Ріманом).


Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • С. Т. Завало (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа.