Неперервна функція

Непере́рвна фу́нкція — одне з основних понять математичного аналізу. Неперервні функції трапляються набагато частіше, ніж диференційовні, множина всіх неперервних функцій замкнена відносно арифметичних операцій (за винятком ділення) і композиції та утворює чи не найважливіший клас функцій в аналізі. Проте строге математичне означення неперервної функції, яке належить Коші, — порівняно нещодавнє, і потребує просунутого рівня математичної абстракції. Інтуїтивне ж означення таке: функція $f(x)$ дійсної змінної неперервна, якщо малим змінам $\Delta x$ аргумента $x$ відповідають малі зміни $\Delta f$ значення функції, що можна записати так: $\Delta f\to 0$ коли $\Delta x\to 0.$ Це означає, що графік неперервної функції не має стрибків, тобто може бути накреслений «не відриваючи олівець від паперу». Всі елементарні функції — неперервні на своїй області визначення.

Зміст

Означення

Приклад неперервної функції

Приклад розривної функції в точці $x=2$. Функція не є неперервною зліва точки $x=2$
$\lim _{x\to 2 \atop x<2}f(x)=2\neq f(2)$ $f$ проте є неперервною справа:
$\lim _{x\to 2 \atop x>2}f(x)=3=f(2)$ $f$.

Функція $f(x)$ дійсної змінної, яка означена в області $D\subseteq \mathbb {R}$, неперервна в точці $x_{0}\in D$ якщо для довільного $\epsilon >0$ знайдеться таке $\delta >0$ (яке залежить від $\epsilon$), що з $x\in D,|x-x_{0}|<\delta$ випливає $|f(x)-f(x_{0})|<\epsilon .$ Функція $f(x)$ неперервна в області $S\subseteq \mathbb {R}$, якщо $f(x)$ неперервна в кожній точці цієї області.

Нехай $A\subset \mathbf {R} ,\quad f:A\to \mathbf {R}$, $x_{0}$ — гранична точка множини A.

Означення неперервності в точці $x_{0}$

Функція f називається неперервною в точці $x_{0}$ якщо:

1. функція f(x) визначена в точці x₀.
2. існує границя $\lim _{x\to x_{0}}{f(x)}$
3. $\lim _{x\to x_{0}}{f(x)}=f(x_{0})$.

Означення неперервності в точці $x_{0}$ за Коші

Функція f називається неперервною в точці $x_{0}$ якщо: $\forall (\epsilon >0)$ $\exists (\delta >0)\forall x$, що $\left|x-x_{0}\right|<\delta$ => $\left|f(x)-f(x_{0})\right|<\epsilon$

Означення неперервності в точці $x_{0}$ за Гейне

Функція f називається неперервною в точці $x_{0}$ якщо: $\forall \{x_{n}\}$, якщо $\lim _{n\to \infty }{x_{n}}=x_{0}$, то $\lim _{n\to \infty }{f(x_{n})}=f(x_{0})$.

Точки розриву

Якщо умова, що входить у визначення неперервності функції, в деякій точці порушується, то кажуть, що розглянута функція має в даній точці розрив. Інакше кажучи, якщо$A$ —  значення функції $f$в точці $a$, то межа такої функції (якщо він існує) не збігається з $A$. Мовою околів умова розривності функції  $f$ в точці $a$ є запереченням умови неперервності розглянутої функції в даній точці, а саме: існує такий окіл точки $A$ в області значень функції $f$, що як би ми близько не підходили до точки $a$ в області визначення функції $f$завжди знайдуться такі точки, образи яких будуть за межами околу точки $A$.

Класифікація точок розриву в R¹ 

Класифікація розривів функцій $f:X\to Y$залежить від того, як влаштовані множини X та Y. Далі наведено класифікацію для найпростішого випадку функції $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$. Подібним чином класифікують і особливі точки  (точки, де функція не визначена).

Якщо функція має розрив в даній точці (тобто границя функції в даній точці відсутня або не збігається зі значенням функції в даній точці), то для числових функцій виникає два можливих варіанти, пов'язаних з існуванням у числових функцій односторонніх границь:

• якщо обидві односторонні границі існують і скінченні, то таку точку називають точкою розриву першого роду. До точок розриву першого роду відносять усувні розриви і стрибки.
• якщо хоча б одна з односторонніх границь не існує або не є скінченою величиною, то таку точку називають точкою розриву другого роду. До точок розриву другого роду відносять полюси і точки суттєвого розриву.

Усувна точка розриву

Якщо границя функції існує і скінченна, але функція не визначена в цій точці, або границя не збігається зі значенням функції в даній точці: $\lim \limits _{x\to a}f(x)\neq f(a)$, то точка $a$ називається точкою усувного розриву функції $f$ (в комплексному аналізі — усувна особлива точка). Якщо «виправити» функцію $f$ у точці усувного розриву і покласти $f(a)=\lim \limits _{x\to a}f(x)$, то вийде функція, неперервна в даній точці. Така операція над функцією називається довизначенням функції до неперервної або довизначенням функції за неперервністю, що і обґрунтовує назву точки, як точки усувного розриву.

Точка розриву «стрибок»

Розрив «стрибок» виникає, якщо

$\lim \limits _{x\to a-0}f(x)\neq \lim \limits _{x\to a+0}f(x)$.

Точка розриву «полюс»

Розрив «полюс» виникає, якщо одинa з односторонніх границь нескінченнa.

$\lim \limits _{x\to a-0}f(x)=\pm \infty$ або $\lim \limits _{x\to a+0}f(x)=\pm \infty$.

Точка суттєвого розриву

У точці суттєвого розриву одна з односторонніх границь взагалі відсутня.

Класифікація ізольованих особливих точок в Rⁿ, n>1

Для функцій $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ та $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ немає потреби працювати з точками розриву, але нерідко доводиться працювати з особливими точками (точками, де функція не визначена). Класифікація подібна.

• Якщо $\exists \lim \limits _{x\to a}f(x)$, то це усувна особлива точка (аналогічно функції дійсного аргументу).
• Полюс визначається як $\lim \limits _{x\to a}f(x)=\infty$. В багатовимірних просторах, якщо модуль числа росте, вважається, що $f(x)\to \infty$, яким шляхом б він не ріс.
• Якщо границя взагалі не існує, це суттєва особлива точка.

Поняття «стрибок» відсутнє. Те, що в $\mathbb {R}$ вважається стрибком, в просторах більших розмірностей — суттєва особлива точка.

Властивості

Локальні

• Функція, неперервна в точці $a\,$, є обмеженою в деякому околі цієї точки.
• Якщо функція $f\,$ неперервна в точці $a\,$ і $f(a)>0\,$ (або $\,f(a)<0$), то $f(x)>0\,$ (або $\,f(x)<0$) для всіх$\,x$, досить близьких до $\,a$.
• Якщо функції $f\,$ та $g\,$ неперервні в точці $\,a$,то функції $f+g\,$ та $f\cdot g\,$ теж неперервні в точці $\,a$.
• Якщо функції $f\,$ та $g\,$ неперервні в точці $a\,$ і при цьому $\,g(a)\neq 0$, то функція $f/g\,$ теж неперервна в точці $\,a$.
• Якщо функція $f\,$ неперервна в точці $a\,$ та функція $g\,$ неперервна в точці $\,b=f(a)$, то їх композиція $\,h=g\circ f$ неперервна в точці $\,a$.

Глобальні

• Функція, неперервна на відрізку (або будь-якій іншій компактній множині ), рівномірно неперервна на ньому.
• Функція, неперервна на відрізку (або будь-якій іншій компактній множині), обмежена і досягає на ній своє максимальне і мінімальне значення.

• Областю значень функції $f\,$, неперервної на відрізку $\,[a,b]$, є відрізок $\,[\min f,\ \max f],$ де мінімум і максимум беруться по відрізку $\,[a,b]$.
• Якщо функція $f\,$ неперервна на відрізку $\,[a,b]$ та $\,f(a)\cdot f(b)<0,$ то існує точка $\xi \in (a,b),$ в якій $\,f(\xi )=0$.
• Якщо функція $f\,$ неперервна на відрізку $\,[a,b]$ і число $\varphi \,$ задовольняє нерівності $\,f(a)<\varphi <f(b)$ або нерівності $\,f(a)>\varphi >f(b),$ то існує точка $\xi \in (a,b),$ у котрій $\,f(\xi )=\varphi$.
• Неперервне відображення відрізка в дійсну пряму ін'єктивне в тому і тільки в тому випадку, коли дана функція на відрізку строго монотонна .
• Монотонна функція на відрізку $\,[a,b]$ неперервна в тому і тільки в тому випадку, коли область її значень є відрізком з кінцями $\,f(a)$ та $\,f(b)$.
• Якщо функції $f\,$ и $g\,$ неперервні на відрізку $\,[a,b]$ , причому $\,f(a)<g(a)$ та $\,f(b)>g(b),$ то існує точка $\xi \in (a,b),$ в якій $\,f(\xi )=g(\xi ).$ Звідси, зокрема, випливає, що будь-яке неперервне відображення відрізка в себе має хоча б одну нерухому точку.

Приклади

Елементарні функції

Довільні многочлени , раціональні функції , показові функції , логарифми , тригонометричні функції (прямі і зворотні) неперервні скрізь у своїй області визначення.

Функція з усувним розривом

Функція $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,$ задається формулою

$f(x)={\begin{cases}{\frac {\sin x}{x}},&x\neq 0\\0,&x=0\end{cases}}$

неперервна в будь-якій точці $x\neq 0.$ Точка $x=0$ є точкою усувного розриву, бо границя функції

$\lim \limits _{x\to 0}f(x)=\lim \limits _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1\neq f(0).$

Функція знака

функція

$f(x)=\operatorname {sgn} x={\begin{cases}-1,&x<0\\0,&x=0\\1,&x>0\end{cases}},\quad x\in \mathbb {R}$

називається функцією знака.

Ця функція неперервна в кожній точці $x\neq 0$.

Точка $x=0$ є точкою розриву першого роду , причому

$\lim \limits _{x\to 0-}f(x)=-1\neq 1=\lim \limits _{x\to 0+}f(x)$, в той час як в самій точці функція обертається в нуль.

Ступінчаста функція

Ступінчаста функція, яка визначається як

$f(x)={\begin{cases}1,&x\geqslant 0\\0,&x<0\end{cases}},\quad x\in \mathbb {R}$

є всюди неперервна, крім точки $x=0$, де функція терпить розрив першого роду. Проте, в точці $x=0$ існує правобічна границя, яка збігається зі значенням функції в даній точці. Таким чином, дана функція є прикладом неперервної справа функції на всій області визначення .

Аналогічно, ступінчаста функція, яка визначається як

$f(x)={\begin{cases}1,&x>0\\0,&x\leqslant 0\end{cases}},\quad x\in \mathbb {R}$

є прикладом неперервної зліва функції на всій області визначення .

Функція Діріхле

функція

$f(x)={\begin{cases}1,&x\in \mathbb {Q} \\0,&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}$

називається функцією Діріхле . По суті, функція Діріхле - це характеристична функція множини раціональних чисел . Ця функція є всюди розривної функцією , оскільки на кожному інтервалі існують як раціональні, так і ірраціональні числа.

Функція Рімана

функція

$f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{n}},&x={\frac {m}{n}}\in \mathbb {Q} ,\ (m,n)=1\\0,&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}$

називається функцією Рімана або функцією Тома.

Ця функція є неперервною всюди у множині ірраціональних чисел ($\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$), оскільки границя функції в кожній точці дорівнює нулю.

Варіації і узагальнення

Рівномірна неперервність

Функція $f$ називається рівномірно неперервної на $E$, якщо для будь-якого $\varepsilon >0$ існує $\delta >0$ таке, що для будь-яких двох точок $x_{1}$ і $x_{2}$ яких, що $|x_{1}-x_{2}|<\delta$, виконується $|f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon$.

Кожна рівномірно неперервна на множині $E$ функція, очевидно, є також і неперервною на ньому. Зворотне, взагалі кажучи, невірно. Однак, якщо область визначення - компакт, то неперервна функція виявляється також і рівномірно неперервною на даному відрізку.

Напівнеперервність

Існує дві симетричні одна до одної властивості - напівнеперервна знизу і напівнеперервна зверху :

• функція $f$ напівнеперервна знизу в точці $a$, якщо для будь-якого $\varepsilon >0$ існує така околиця $U_{E}(a)$, що $f(x)>f(a)-\varepsilon$ для будь-якого $x\in U_{E}(a)$;
• функція $f$ називається напівнеперервна зверху в точці $a$, якщо для будь-якого $\varepsilon >0$ існує такий окіл точки $U_{E}(a)$, що $f(x)<f(a)+\varepsilon$ для будь-якого $x\in U_{E}(a)$.

Між неперервністю і напівнеперервністю є такий зв'язок:

• якщо взяти функцію $f$, неперервну в точці $a$, і зменшити значення $f(a)$ (на кінцеву величину), то ми отримаємо функцію, напівнеперервну знизу в точці $a$;
• якщо взяти функцію $f$, неперервну в точці $a$, і збільшити значення $f(a)$ на кінцеву величину), то ми отримаємо функцію, напівнеперервну зверху в точці $a$.

Відповідно до цього можна допустити для напівнеперервних функцій нескінченні значення:

• якщо $f(a)=-\infty$, то будемо вважати таку функцію напівнеперервна знизу в точці $a$;
• якщо $f(a)=+\infty$,то будемо вважати таку функцію напівнеперервна зверху в точці $a$.

Одностороння неперервність

Функція $f$ називається односторонньо неперервною зліва (справа) в кожній точці $x_{0}$ її області визначення, якщо для односторонньої границі виконується рівняння: $f(x_{0})=\lim \limits _{x\to x_{0}-}f(x)$ $(f(x_{0})=\lim \limits _{x\to x_{0}+}f(x)).$

Неперервність майже всюди

На дійсній прямій зазвичай розглядається проста лінійна міра Лебега. Якщо функція $f$ така, що вона неперервна всюди на $E$, крім, можливо, множини міри нуль, то така функція називається неперервною майже всюди .

У тому випадку, коли множина точок розриву функції не більше ніж зліченна, ми отримуємо клас інтегрованих за Ріманом функцій (див. Критерій інтегрованості функції за Ріманом).

Див. також

• Теорема Больцано-Коші

Література

• С. Т. Завало (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа.