В абстрактній алгебрі фактор-кільце — кільце класів еквівалентності, що будується з деякого кільця за допомогою деякого його ідеалу . Позначається .

ВизначенняРедагувати

Нехай   — кільце, а   — деякий його (двосторонній) ідеал. На   можна задати відношення еквівалентності  :

  тоді і тільки тоді, коли  .

Оскільки за означенням ідеал є підгрупою адитивної групи кільця:

  • Тоді   тобто  .
  • Якщо   то також  , тобто з   випливає  .
  • Якщо   та   то також  , тобто з   та   випливає  .

Отже відношення   є рефлексивним, симетричним і транзитивним, отже є відношенням еквівалентності.

Нехай

 

позначає клас еквівалентності елемента  . Множина класів еквівалентності введеного відношення позначається  .

На даній множині можна ввести операції додавання і множення:

 
 

Дані визначення є несуперечливими, тобто не залежать від вибору представників класу. Дійсно нехай   та  . Тоді   та  . Звідси   та  . Оскільки   одержується   та  , що доводить несуперечливість визначення.

Множина визначених класів еквівалентності з визначеними операціями множення і додавання називається фактор-кільцем кільця   за ідеалом  .

ПрикладиРедагувати

  • Найпростіші приклади фактор-кілець одержуються за допомогою ідеалів   і самого кільця  .   є ізоморфним до  , а   є тривіальним кільцем  .
  • Нехай   — кільце цілих чисел, а  — кільце парних чисел. Тоді фактор-кільце   має лише два елементи, що відповідають множинам парних і непарних чисел. Дане фактор-кільце є ізоморфним полю з двома елементами,  . Більш загально можна розглянути фактор-кільце  , що є ізоморфним кільцю лишків за модулем  .
  • Нехай   кільце многочленів від змінної   з дійсними коефіцієнтами, і ідеал   складається з усіх добутків многочлена   на інші многочлени. Фактор-кільце   є ізоморфним полю комплексних чисел  , і клас еквівалентності   відповідає уявній одиниці  .
  • Узагальнюючи попередній приклад, фактор-кільце можна використати для побудови розширення поля. Нехай   — деяке поле і   незвідний многочлен в  .Тоді   є полем, що містить  .

ВластивостіРедагувати

  • Якщо   — комутативне кільце то кільце   теж є комутативним. Обернене твердження невірне.
  • Теорема про гомоморфізм кілець:
Якщо   — епіморфізм (сюр'єктивний гомоморфізм) кільця   на кільце  , то ядро   є ідеалом кільця  , причому кільце   ізоморфне фактор-кільцю  .
Навпаки: якщо   — ідеал кільця  , то відображення  , визначене умовою   є гомоморфізмом кільця   на   з ядром  .
  • Ідеал   кільця   є простим (максимальним) в тому і лише у тому випадку, коли фактор-кільце   є областю цілісності(полем).
  • Між ідеалами кілець   і   існує тісний зв'язок. А саме ідеали   знаходяться у взаємно однозначній відповідності із ідеалами кільця  , що містять ідеал   як підмножину. Якщо   такий ідеал кільця   йому ставиться у відповідність ідеал   кільця  . До того ж фактор-кільця   і   є ізоморфними через природний гомоморфізм  , для якого  

Див. такожРедагувати

ПосиланняРедагувати

ДжерелаРедагувати