Фактор-кільце
В абстрактній алгебрі фактор-кільце — кільце класів еквівалентності, що будується з деякого кільця за допомогою деякого його ідеалу . Позначається .
Визначення
ред.Нехай — кільце, а — деякий його (двосторонній) ідеал. На можна задати відношення еквівалентності :
- тоді і тільки тоді, коли .
Оскільки за означенням ідеал є підгрупою адитивної групи кільця:
- Тоді тобто .
- Якщо то також , тобто з випливає .
- Якщо та то також , тобто з та випливає .
Отже відношення є рефлексивним, симетричним і транзитивним, отже є відношенням еквівалентності.
Нехай
позначає клас еквівалентності елемента . Множина класів еквівалентності введеного відношення позначається .
На даній множині можна ввести операції додавання і множення:
Дані визначення є несуперечливими, тобто не залежать від вибору представників класу. Дійсно нехай та . Тоді та . Звідси та . Оскільки одержується та , що доводить несуперечливість визначення.
Множина визначених класів еквівалентності з визначеними операціями множення і додавання називається фактор-кільцем кільця за ідеалом .
Приклади
ред.- Найпростіші приклади фактор-кілець одержуються за допомогою ідеалів і самого кільця . є ізоморфним до , а є тривіальним кільцем .
- Нехай — кільце цілих чисел, а — кільце парних чисел. Тоді фактор-кільце має лише два елементи, що відповідають множинам парних і непарних чисел. Дане фактор-кільце є ізоморфним полю з двома елементами, . Більш загально можна розглянути фактор-кільце , що є ізоморфним кільцю лишків за модулем .
- Нехай кільце многочленів від змінної з дійсними коефіцієнтами, і ідеал складається з усіх добутків многочлена на інші многочлени. Фактор-кільце є ізоморфним полю комплексних чисел , і клас еквівалентності відповідає уявній одиниці .
- Узагальнюючи попередній приклад, фактор-кільце можна використати для побудови розширення поля. Нехай — деяке поле і незвідний многочлен в .Тоді є полем, що містить .
Властивості
ред.- Якщо — комутативне кільце то кільце теж є комутативним. Обернене твердження невірне.
- Теорема про гомоморфізм кілець:
- Якщо — епіморфізм (сюр'єктивний гомоморфізм) кільця на кільце , то ядро є ідеалом кільця , причому кільце ізоморфне фактор-кільцю .
- Навпаки: якщо — ідеал кільця , то відображення , визначене умовою є гомоморфізмом кільця на з ядром .
- Ідеал кільця є простим (максимальним) в тому і лише у тому випадку, коли фактор-кільце є областю цілісності(полем).
- Між ідеалами кілець і існує тісний зв'язок. А саме ідеали знаходяться у взаємно однозначній відповідності із ідеалами кільця , що містять ідеал як підмножину. Якщо такий ідеал кільця йому ставиться у відповідність ідеал кільця . До того ж фактор-кільця і є ізоморфними через природний гомоморфізм , для якого
Див. також
ред.Посилання
ред.- Фактор-кільце [Архівовано 14 травня 2011 у Wayback Machine.] на сайті PlanetMath.
Джерела
ред.Українською
ред.- (укр.) Гаврилків В. М. Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф. : Голіней, 2023. — 153 с.
- Бондаренко Є.В. (2012). Теорія кілець: навчальний посібник (PDF). Київ: РВЦ “Київський університет„. с. 64. (укр.)
Іншими мовами
ред.- Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — ISBN 5-8114-0552-9.(рос.)
- Винберг Э. Б. Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — ISBN 978-5-94057-685-3.(рос.)
- Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — ISBN 5458320840.(рос.)