Розширення поляполе для якого поле є підполем.

Позначається .

КласифікаціяРедагувати

Скінченні і нескінченні розширенняРедагувати

Довільне розширення   також є векторним простором над  . Розмірність цього векторного простору позначається  .

  • В іншому випадку розширення називається нескінченним.

Прості і скінченнопороджені розширенняРедагувати

Якщо   — деяке розширення поля  , а   підмножина  , що не має спільних елементів з  , то   позначає найменше поле, що містить   і  .

  • Просте розширення — розширення, породжене одним елементом  . Цей елемент називають первісним елементом.
  • Скінченно породжене розширення — розширення  , яке породжене скінченною кількістю елементів:  .

Алгебричні і трансцендентні розширенняРедагувати

Елемент з  , що є коренем ненульового многочлена з коефіцієнтами з   називається алгебричним в розширенні  . Елемент  , що не є алгебричним називається трансцендентним.

  • Алгебричне розширення — розширення  , всі елементи якого є алгебричними над  .
  • Розширення, що містить трансцендентні елементи називається трансцендентним розширенням.

Нормальні, сепарабельні розширенняРедагувати

  • Нормальне розширення — алгебричне розширення  , для якого кожен незвідний многочлен   над  , що має хоч би один корінь в  , розкладається в   на лінійні множники.
  • Сепарабельне розширення — алгебричне розширення, що складається з сепарабельних елементів тобто таких елементів  , мінімальний многочлен  , над   для яких не має кратних коренів.
  • Розширення Галуа — алгебричне розширення, що є нормальним і сепарабельним.

ПрикладиРедагувати

  • Іншим прикладом розширення поля раціональних чисел є поле p-адичних чисел.

ЛітератураРедагувати