Розширення поля

	Розширення поля
Підтримується Вікіпроєктом	Вікіпедія:Проєкт:Математика
Протилежне	subfieldd

Розширення поля — поле $L$ для якого поле $K$ є підполем.

Позначається $L/K$ або $K\subset L$ .

Класифікація

Скінченні і нескінченні розширення

Довільне розширення $L/K$ також є векторним простором над $K$ . Розмірність цього векторного простору позначається $[L:K]$ .

Скінченним розширенням називається розширення, що є скінченновимірним векторним простором над $K$ .

В іншому випадку розширення називається нескінченним.

Прості і скінченнопороджені розширення

Якщо $L/K$ — деяке розширення поля $K$ , а $S$ підмножина $L$ , що не має спільних елементів з $K$ , то $K(S)$ позначає найменше поле, що містить $K$ і $S$ .

Просте розширення — розширення, породжене одним елементом $E=K(\alpha )$ . Цей елемент називають первісним елементом.
Скінченно породжене розширення — розширення $L$ , яке породжене скінченною кількістю елементів: $L=K(\alpha _{1},\ldots \alpha _{n})$ .

Алгебричні і трансцендентні розширення

Елемент з $L$ , що є коренем ненульового многочлена з коефіцієнтами з $K$ називається алгебричним в розширенні $L/K$ . Елемент $L$ , що не є алгебричним називається трансцендентним.

Алгебричне розширення — розширення $L/K$ , всі елементи якого є алгебричними над $K$ .
Розширення, що містить трансцендентні елементи називається трансцендентним розширенням.

Нормальні, сепарабельні розширення

Нормальне розширення — алгебричне розширення $L$ , для якого кожен незвідний многочлен $f(x)$ над $K$ , що має хоч би один корінь в $L$ , розкладається в $L$ на лінійні множники.
Сепарабельне розширення — алгебричне розширення, що складається з сепарабельних елементів тобто таких елементів $\alpha$ , мінімальний многочлен $f(x)$ , над $K$ для яких не має кратних коренів.
Розширення Галуа — алгебричне розширення, що є нормальним і сепарабельним.

Приклади

Поле $\mathbb {C}$ комплексних чисел є скінченним і алгебричним розширенням поля $\mathbb {R}$ дійсних чисел. Дане розширення є розширенням Галуа і полем розкладу многочлена $\ x^{2}+1$ . Воно є простим розширенням (породжуючим елементом є $\ i.$

Поле $\mathbb {R}$ дійсних чисел є нескінченним, трансцендентним розширенням поля $\mathbb {Q}$ раціональних чисел. Прикладами трансцендентних елементів можуть бути, наприклад числа e і π.

Іншим прикладом розширення поля раціональних чисел є поле p-адичних чисел.

Усі розширення полів характеристики 0 і скінченних полів є сепарабельними.

Література

Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — ISBN 5-8114-0552-9.(рос.)
Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — Москва : ИЛ, 1963. — Т. 1. — 373 с.(рос.)
Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — ISBN 5458320840.(рос.)
Howie, John Mackintosh (2006), Fields and Galois Theory, London: Springer, ISBN 1852339861 .