Відкрити головне меню

В абстрактній алгебрі поле розкладу многочлена p над полем — найменше розширення поля, над яким розкладається в добуток лінійних множників:

При цьому тому поле розкладу також називається розширенням, одержаним приєднанням до всіх коренів даного многочлена.

Аналогічно вводиться поняття поля розкладу сім'ї многочленів — розширення L, для якого кожен pi розкладається в L[x] на лінійні множники і L породжується над K всіма коренями pi. Поле розкладу скінченної множини многочленів p1,p2...pn, буде, очевидно, полем розкладу їх добутку p=p1p2...pn Розширення поля, що є полем розкладу деякої сім'ї многочленів називається нормальним розширенням.

Зміст

ВластивостіРедагувати

  • Поле розкладу скінченної сім'ї многочленів є скінченним алгебраїчним розширенням поля  .
  • Поле розкладу многочлена існує для будь-якого сімейства многочлена pi і визначене однозначно з точністю до ізоморфізму, тотожного на K.
  • Для поля   характеристики 0, поле розкладу многочлена   завжди містить первісний корінь степені   з одиниці.
  • Мінімальний многочлен довільного елемента поля розкладу в цьому полі теж розкладається на лінійні множники.

ПрикладиРедагувати

Побудова поля розкладуРедагувати

Нехай   — поле і p(x) многочлен над   степеня n. Загалом процедура побудови поля розкладу многочлена p(x) полягає в побудові послідовності полів  , де   є розширенням  , що містить один новий корінь p(x). Оскільки p(x) має щонайбільше n різних коренів, побудова вимагає щонайбільше n розширень. Розширення   можна побудувати за допомогою наступних кроків:

  • Многочлен p(x) розкладається в добуток многочленів незвідних над    .
  • Нехай   — деякий з незвідних множників з попереднього пункту.
  • Розширення   поля   визначається як фактор-кільце   де (f(x)) — ідеал в кільці   породжений f(x).
  • Процедура побудови   продовжується доки не одержується поле в якому p(x) розкладається на лінійні множники.

Незвідні многочлени   можуть обиратися в довільному порядку. Одержані поля розкладу при цьому будуть ізоморфними.

Оскільки f(x) є незвідним (f(x)) є максимальним ідеалом і тому   — поле. Якщо   є проекцією кільця на фактор кільце, то   отже   є коренем f(x) і також p(x).

Розмірність розширення [ ] рівна степеню відповідного многочлена f(x). Розмірність розширення [L : K] рівна   і не перевищує n!.

ЛітератураРедагувати