Відкрити головне меню

Для довільного поля F, многочлен з коефіцієнтами в F (такі многочлени утворюють кільце ) називається незвідним у полі якщо він не рівний константі і не дорівнює добутку двох або більше многочленів з , що не є константами. Дана властивість залежить від поля F; многочлен, що є незвідним в одному полі може розкладатися на добуток в іншому.

Кожен многочлен у може бути розкладений в добуток многочленів, що є незвідними в F. Цей розклад на множники є однозначно визначеним з точністю до перестановки множників і множення многочленів у розкладі на константи з поля F.

Зміст

Прості прикладиРедагувати

Наступні п'ять многочленів демонструють деякі елементарні властивості незвідних многочленів:

 ,
 ,
 ,
 ,
 .

Над кільцем   цілих чисел, перші два многочлени є звідними, останні два є незвідними. (Третій, звичайно, не є многочленом над цілими числами.)

Над полем   раціональних чисел, перші три многочлени є звідними, двоє інших — незвідні.

Над полем   дійсних чисел, перші чотири многочлени — звідні, але   є незвідним.

Над полем   комплексних чисел, всі п'ять многочленів звідні. Фактично, кожен відмінний від константи многочлен   над   може бути розкладений на множники виду:

 

де  степінь многочлена,   — старший коефіцієнт,  корені  . Тому єдиними незвідними многочленами над   є лінійні многочлени (основна теорема алгебри).

Дійсні і комплексні числаРедагувати

Як показано вище, тільки лінійні многочлени є незвідними в полі комплексних чисел. В полі дійсних чисел незвідними є лінійні многочлени і квадратичні многочлени без дійсних коренів . Наприклад розклад многочлена   в полі дійсних чисел має вигляд   Обидва множники в даному розкладі є незвідними многочленами.

Скінченні поляРедагувати

Многочлени з цілочисельними коефіцієнтами, які є незвідними над полем   можуть бути звідними над скінченним полем. Наприклад, многочлен   є незвідним над   але над полем   з двох елементів може бути звідним. Наприклад у  , ми маємо:

 

Незвідність многочлена над цілими числами   пов'язана з незвідністю у полі   з   елементів (для простого числа  ). А саме, якщо многочлен   над   з старшим коефіцієнтом   є звідним у   тоді він є звідним у   для будь-якого простого числа  . Зворотне твердження невірне.

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

ПосиланняРедагувати