Незвідний елемент

Незвідним елементом в області R називається елемент, що не є оборотним в R, і з рівності p=bc, випливає, що або b, або c є оборотним елементом.

Якщо p≠0 — простий елемент, тобто (p) — простий ідеал, то p є незвідним. Справді, тоді якщо p=ab маємо через простоту (p) що, наприклад a ∈(p). Тоді маємо: a=px для деякого x, значить a=abx і bx=1, тобто b є оборотним. Зворотне в загальному випадку невірно, хоча виконується для довільного факторіального кільця.

Приклади

• Прості числа є незвідними елементами кільця цілих чисел.
• Незвідні многочлени є незвідними елементами кільця многочленів.
• В кільці $\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ квадратичних цілих чисел, число 3 є незвідним $(N(3)=9,$ у цьому кільці немає елемента норма якого дорівнює 3 і оскільки $N(ab)=N(a)N(b),$ то один з дільників має бути $\pm 1),$ але не є простим оскільки число 9 може бути записане як $\left(2+{\sqrt {-5}}\right)\left(2-{\sqrt {-5}}\right)$.

Література

• (укр.) Гаврилків В. М. Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф.  : Голіней, 2023. — 153 с.
• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — ISBN 5-8114-0552-9.(рос.)
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — Москва : ИЛ, 1963. — Т. 1. — 373 с.(рос.)
• Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — ISBN 5458320840.(рос.)