В абстрактній алгебрі простий ідеалідеал кільця, властивості якого схожі з властивостями простих чисел. Окрім теорії кілець поняття також часто використовується у алгебраїчній геометрії, де прості ідеали многочленів визначають афінні многовиди.

Узагальненням поняття простого ідеала є примарний ідеал.

ВизначенняРедагувати

Ідеал   кільця   називається простим, якщо   і якщо з того, що добуток   двох ідеалів   міститься в  , то принаймні один з ідеалів   або   міститься в  .

У загальному некомутативному кільці це еквівалентно наступному означенню:

Ідеал називається простим якщо виконуються умови:
  • якщо   такі, що для всіх  , їх добуток   належить  , тоді   або  .
  •   не рівне кільцю  .

У комутативному кільці ідеал називається простим, якщо для деяких двох елементів   з того, що  , випливає що   або  . Якщо ця властивість виконується для некомутативного кільця його називають цілком простим.

Замітка. Іноді термін простий ідеал використовується лише для комутативних кілець. У некомутативному випадку при цьому використовується термін первинний ідеал.

ВластивостіРедагувати

  • Прообраз простого ідеалу при гомоморфізмі комутативних кілець є простим ідеалом.
  • Ідеал   у комутативному кільці є простим, якщо елементи доповнення до нього утворюють мультиплікативну систему.
    • Підмножина кільця називається мультиплікативною системою, якщо вона замкнута відносно операції множення.
  • Теорема віддільності: Нехай в комутативному кільці   з одиницею заданий ідеал  , що не перетинається з мультиплікативною системою  . Тоді існує простий ідеал  , що містить   і не перетинається з системою  .
    • Доведення використовує один з варіантів леми Цорна. Множина всіх ідеалів кільця A, що містять   і не перетинаються з системою   є непорожньою (вона містить ідеал  ), і відношення теоретико-множинного включення задає на ньому індуктивний порядок. За лемою Цорна ця множина містить максимальний елемент — деякий ідеал  . Припущення про його непростоту приводить до суперечності з його максимальністю.
  • Теорема про радикал: Перетин всіх простих ідеалів, що містять ідеал  , збігається з радикалом ідеалу   (тобто множиною  )
    • Нехай   — простий ідеал, що містить  . Якщо елемент f належить радикалу  , значить деякий його степінь належить ідеалу  , відповідно f не може належати доповненню до  , оскільки це доповнення — мультиплікативна система (якщо воно містить f, то містить і всі його степені). Значить f необхідно належить всім простим ідеалам, що містять ідеал  .
      Навпаки: нехай f не належить радикалу  . Тоді множина всіх його степенів — мультиплікативна система, що не перетинає  . За попередньою теоремою існує простий ідеал, що містить   і що не містить жоден із степенів елементу f. Значить f не належить усім простим ідеалам, що містять ідеал  .

ПрикладиРедагувати

Нехай   максимальний ідеал кільця   і припустимо   має ідеали   і   і  , але  . Оскільки   є максимальним, маємо  . Тоді,
 
Тому   або  , тобто ідеал є простим.

ЛітератураРедагувати

ПосиланняРедагувати