Гомоморфізм

Гомоморфізм (від грец. homos – однаковий і грец. morphe – форма) — це морфізм в категорії алгебраїчних систем.

В термінах універсальної алгебри, це відображення $\phi \colon A\rightarrow B$, алгебраїчної системи $A$ в алгебраїчну систему $B$ того ж типу, що зберігає алгебраїчну операцію:

$\phi (f_{A}(x_{1},\ldots ,x_{n}))=f_{B}(\phi (x_{1}),\ldots ,\phi (x_{n}))$

для кожної $n$-арної операції $f$ і $\forall x_{i}\in A$.

Базові приклади

Дійсні числа є кільцем, що має додавання і множення. Множина всіх $2\times 2$ матриць також кільце над додаванням матриць і множенням матриць. Якщо ми визначимо функцію між цими кільцями так:

$f(r)={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}$

де $r$ дійсне число. Тоді $f$ — гомоморфізм кілець, бо $f$ зберігає і додавання:

$f(r+s)={\begin{pmatrix}r+s&0\\0&r+s\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}}=f(r)+f(s)$

і множення:

$f(rs)={\begin{pmatrix}rs&0\\0&rs\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}}=f(r)\,f(s).$

Інший приклад, ненульові комплексні числа утворюють групу над множенням, так само як ненульові дійсні числа. (Нуль треба виключити, бо він не має оберненого елемента, який повинен бути в елементів групи.) Визначимо функцію $f$ з ненульових комплексних чисел в ненульові дійсні числа так

$f(z)=|z|.\,\!$

Де, $f(z)$ — абсолютне значення (або модуль) комплексного числа $z$. Тоді $f$ — гомоморфізм групи, бо воно зберігає множення:

$f(z_{1}z_{2})=|z_{1}z_{2}|=|z_{1}|\,|z_{2}|=f(z_{1})\,f(z_{2}).$

Зауважте, що $f$ не можна поширити на гомоморфізм груп (з комплексних в дійсні), бо вона не зберігає додавання:

$|z_{1}+z_{2}|\neq |z_{1}|+|z_{2}|.$

Типи гомоморфізмів

Кожен тип алгебраїчних структур має свій гомоморфізм:

• Гомоморфізм груп
• Гомоморфізм кілець
• Гомоморфізм модулів
• Лінійний оператор (гомоморфізм векторних просторів)
• Гомоморфізм алгебр

Часткові випадки

• Ізоморфізм — бієктивний гомоморфізм.
• Епіморфізм — сюр'єктивний гомоморфізм.
• Мономорфізм — ін'єктивний гомоморфізм.
• Ендоморфізм — гомоморфізм алгебраїчної категорії самої в себе.
• Автоморфізм — ендоморфізм, що є одночасно ізоморфізмом.

Вищеозначені терміни використовуються і в теорії категорій, де вони визначені загальнішим чином.

Ядро та образ гомоморфізму

• Гомоморфізм $\phi \colon A\rightarrow B$ визначає відношення еквівалентності $\sim$ в $A$ так:

$\ x\sim y\;\;\iff \;\;\phi {(x)}=\phi {(y)}.$

Відношення $\sim$ називається ядром $\phi$.

• Фактор-множина $X/\!\sim$ ізоморфна образу $\phi$.

Властивості

• Множина всіх ендоморфізмів множини $X$ утворює моноїд, позначається $\mathrm {End} \,(X)$.
• Множина всіх автоморфізмів множини $X$ утворює групу, позначається $\mathrm {Aut} \,(X)$.

Практичне значення

Поняття гомоморфізму і споріднені з ним поняття ізоморфізму і автоморфізму мають величезне практичне значення, так як вони дозволяють представляти одну модель іншою моделлю.

Див. також

• Теорема про гомоморфізми
• Теореми про ізоморфізми
• Гомеоморфізм
• Дифеоморфізм

Література

• Кон П. Универсальная алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 351 с.(рос.)