Гомоморфізм

Гомоморфізм (від грец. homos – однаковий і грец. morphe – форма) — це морфізм в категорії алгебраїчних систем.

В термінах універсальної алгебри, це відображення $\phi :A\rightarrow B\!$, алгебраїчної системи $A\!$ в алгебраїчну систему $B\!$ того ж типу, що зберігає алгебраїчну операцію:

$\phi (f_{A}(x_{1},\ldots ,x_{n}))=f_{B}(\phi (x_{1}),\ldots ,\phi (x_{n}))\!$

для кожної n-арної операції $f\!$ і $\forall x_{i}\in A$.

Зміст

Базові приклади

Дійсні числа є кільцем, що має додавання і множення. Множина всіх 2 × 2 матриць також кільце над додаванням матриць і множенням матриць. Якщо ми визначимо функцію між цими кільцями так:

$f(r)={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}$

де r дійсне число. Тоді ƒ — гомоморфізм кілець, бо ƒ зберігає і додавання:

$f(r+s)={\begin{pmatrix}r+s&0\\0&r+s\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}}=f(r)+f(s)$

і множення:

$f(rs)={\begin{pmatrix}rs&0\\0&rs\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}}=f(r)\,f(s).$

Інший приклад, ненульові комплексні числа утворюють групу над множенням, так само як ненульові дійсні числа. (Нуль треба виключити, бо він не має оберненого елемента, який повинен бути в елементів групи.) Визначимо функцію ƒ з ненульових комплексних чисел в ненульові дійсні числа так

$f(z)=|z|.\,\!$

Де, ƒ(z) — абсолютне значення (або модуль) комплексного числа z. Тоді ƒ — гомоморфізм групи, бо воно зберігає множення:

$f(z_{1}z_{2})=|z_{1}z_{2}|=|z_{1}|\,|z_{2}|=f(z_{1})\,f(z_{2}).$

Зауважте, що ƒ не можна поширити на гомоморфізм груп (з комплексних в дійсні), бо вона не зберігає додавання:

$|z_{1}+z_{2}|\neq |z_{1}|+|z_{2}|.$

Типи гомоморфізмів

Кожен тип алгебраїчних структур має свій гомоморфізм:

• Гомоморфізм груп
• Гомоморфізм кілець
• Гомоморфізм модулів
• Лінійний оператор (гомоморфізм векторних просторів)
• Гомоморфізм алгебр

Часткові випадки

• Ізоморфізм — бієктивний гомоморфізм.
• Епіморфізм — сюр'єктивний гомоморфізм.
• Мономорфізм — ін'єктивний гомоморфізм.
• Ендоморфізм — гомоморфізм алгебраїчної категорії самої в себе.
• Автоморфізм — ендоморфізм, що є одночасно ізоморфізмом.

Вищеозначені терміни використовуються і в теорії категорій, де вони визначені загальнішим чином.

Ядро та образ гомоморфізму

• Гомоморфізм $\ \phi :A\rightarrow B$ визначає відношення еквівалентності $\ \sim$ в $\ A$ так:

$\ x\sim y\;\;\iff \;\;\phi {(x)}=\phi {(y)}.$

Відношення $\ \sim$ називається ядром $\ \phi .$

• Фактормножина $\ X/\!\sim$ ізоморфна образу $\ \phi .$

Властивості

• Множина всіх ендоморфізмів множини X утворює моноїд, позначається End(X).
• Множина всіх автоморфізмів множини X утворює групу, позначається Aut(X).

Практичне значення

Поняття гомоморфізму і споріднені з ним поняття ізоморфізму і автоморфізму мають величезне практичне значення, так як вони дозволяють представляти одну модель іншою моделлю.

Див. також

• Теорема про гомоморфізми
• Теореми про ізоморфізми
• Гомеоморфізм
• Дифеоморфізм

Література

• Кон П. Универсальная алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 351 с.(рос.)