Гомоморфізм (від грец. homos – однаковий і грец. morphe – форма) — це морфізм в категорії алгебраїчних систем.

В термінах універсальної алгебри, це відображення , алгебраїчної системи в алгебраїчну систему того ж типу, що зберігає алгебраїчну операцію:

для кожної -арної операції і .

Базові прикладиРедагувати

Дійсні числа є кільцем, що має додавання і множення. Множина всіх   матриць також кільце над додаванням матриць і множенням матриць. Якщо ми визначимо функцію між цими кільцями так:

 

де   дійсне число. Тоді   — гомоморфізм кілець, бо   зберігає і додавання:

 

і множення:

 

Інший приклад, ненульові комплексні числа утворюють групу над множенням, так само як ненульові дійсні числа. (Нуль треба виключити, бо він не має оберненого елемента, який повинен бути в елементів групи.) Визначимо функцію   з ненульових комплексних чисел в ненульові дійсні числа так

 

Де,  абсолютне значення (або модуль) комплексного числа  . Тоді   — гомоморфізм групи, бо воно зберігає множення:

 

Зауважте, що   не можна поширити на гомоморфізм груп (з комплексних в дійсні), бо вона не зберігає додавання:

 

Типи гомоморфізмівРедагувати

Кожен тип алгебраїчних структур має свій гомоморфізм:

Часткові випадкиРедагувати

Вищеозначені терміни використовуються і в теорії категорій, де вони визначені загальнішим чином.

Ядро та образ гомоморфізмуРедагувати

 

Відношення   називається ядром  .

ВластивостіРедагувати

  • Множина всіх ендоморфізмів множини   утворює моноїд, позначається  .
  • Множина всіх автоморфізмів множини   утворює групу, позначається  .

Практичне значенняРедагувати

Поняття гомоморфізму і споріднені з ним поняття ізоморфізму і автоморфізму мають величезне практичне значення, так як вони дозволяють представляти одну модель іншою моделлю.

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати