В алгебрі гомоморфізм — це зберігаюче структуру відображення[en] між двома алгебричними структурами того ж самого типу (наприклад, двома групами, двома кільцями, двома векторами просторами).

Слово гомоморфізм у перекладі з давньогрецької грец. homos – однаковий і грец. morphe – форма, вид.[1] Цей термін з'явився ще в 1892, його припусували німецькому математику Феліксу Клейну (1849—1925).[2]

Гомоморфізми двох векторних просторів також називають лінійними відображеннями, а їх дослідженнями займається лінійна алгебра.

Поняття гомоморфізму було узагальнено під назвою морфізм для багатьох структур, що не мають множини-носія або не є алгебраїчними. Це узагальнення — відправна точка теорії категорій

Гомоморфізм може також бути ізоморфізмом, ендоморфізмом, автоморфізмом і т.п. (дивись нижче). Кожен з цих гомоморфізмів може бути визначений способом, який можна узагальнити до будь-якого класу морфізмів.

ОзначенняРедагувати

Гомоморфізм — це відображення між двома алгебричними структурами одного типу (з однаковими назвами), що зберігає операції цих структур. Це означає відображення   між двома множинами  ,  , які мають однакові структуру такі, що якщо   — операція цієї структури (для спрощення вважаємо її бінарною операцією), тоді

 

для будь-якої пари елементів  ,  множини  .[note 1] Часто говорять, що гомоморфізм   зберігає операцію або сумісний з операцією.

Формально, відображення   зберігає операцію   арності  , яка визначена на обох множинах, якщо

 ,

для всіх елементів   множини  .

Операції, що повинні зберігатися при гомоморфізмі, включають 0-арні операції, тобто константи. Зокрема, коли нейтральний елемент вимагається типом структури, то нейтральний елемент першої структури має відображатися в відповідний нейтральний елемент другої структури.

Наприклад,

  • Гомоморфізм моноїдів[en] — це відображення між моноїдами, що зберігає операції моноїдів та відображає нейтральний елемент першого моноїду у нейтральний елемент другого моноїду (нейтральний елемент це 0-арні операція).

З цього випливає, що гомоморфізм груп відображає нейтральний елемент першої групи у нейтральний елемент другої групи, та відображає обернений елемент першої групи у обернений образ цього елемента. Тому, гомоморфізм напівгруп між групами обов'язково є гомоморфізмом груп.

Алгебраїчна структура може мати більше однієї операція та гомоморфізм повинен зберігати кожну операцію. Таким чином, відображення, що зберігає тільки деякі операції не є гомоморфізмом структури, але лише гомоморфізмом субструктури, що отримується при розгляді лише збережених операцій. Наприклад, відображення між моноїдами, що зберігає операцію моноїда, а не нейтральний елемент, не є гомоморфізмом моноїду, але є гомоморфізмом напівгрупи.

При гомоморфізмі між алгебричними структурами позначення операцій в них не обов'язково повинні збігатися. Наприклад, дійсні числа утворюють групу з операцією додавання, а додатні дійсні числа утворюють групу з операцією множення. Експонента

 

задовольняє співвідношення

 

та визначає гомоморфізм між цими двома групами. Більш того, це навіть ізоморфізм (дивись нижче), бо її обернена функція (натуральний логарифм) задовольняє співвідношення

 

і це також гомоморфізм між групами.

В термінах універсальної алгебри, це відображення[en]  , алгебричної системи   в алгебраїчну систему   того ж типу, що зберігає алгебраїчну операцію:

 

для кожної  -арної операції   і  .

Базові прикладиРедагувати

 
Гомоморфізм моноїду   з моноїду   у моноїд   визначається функцією  . Гомоморфізм є ін'єктивним, але не є сюр'єктивним.

Дійсні числа є кільцем, що має додавання і множення. Множина всіх   матриць також кільце над додаванням матриць і множенням матриць. Якщо ми визначимо функцію між цими кільцями так:

 

де   дійсне число. Тоді   — гомоморфізм кілець, бо   зберігає і додавання:

 

і множення:

 

Інший приклад, ненульові комплексні числа утворюють групу над множенням, так само як ненульові дійсні числа. (Нуль треба виключити, бо він не має оберненого елемента, який повинен бути в елементів групи.) Визначимо функцію   з ненульових комплексних чисел в ненульові дійсні числа так

 

Де,  абсолютне значення (або модуль) комплексного числа  . Тоді   — гомоморфізм групи, бо воно зберігає множення:

 

Зауважте, що   не можна поширити на гомоморфізм груп (з комплексних в дійсні), бо вона не зберігає додавання:

 

Як приклад на діаграмі показано гомоморфізм моноїду   від моноїду   до моноїду  . Завдяки різним назвам відповідних операцій, властивості збереження структури, яким задовольняє $f$, запишуться як   та  .

Композиційна алгебра[en]   над полем   має [[Квадратична форма|квадратичну форму\\, яка називається нормою,  , яка є груповим гомоморфізмом з мультиплікативної групи[en] алгебри   у мутиплікативну групу поля  .

Типи гомоморфізмівРедагувати

Кожен тип алгебричних структур має свій гомоморфізм:

Часткові випадкиРедагувати

Декілька видів гомоморфізму мають спеціальні назви, які також визначаються для загальних морфізмов.

ІзомормізмРедагувати

Ізоморфізмбієктивний гомоморфізм.[3]:134 [4]:28 Ізоморфізм між алгебричними структурами одного типу зазвичай визначають як бієктивний гомоморфізм.

У більш загальному контексті теорії категорій ізоморфізм визначається як морфізм, який має обернене відображення, яке також є морфізмом. У випадку алгебраїчних структур ці два означення є еквівалентними, хоча вони можуть відрізнятися для неалгебраїчних структур, які мають множину-носія.

Точніше, якщо
 

є (гомо)морфізмом, то він має обернений, якщо існує гомоморфізм

 

такий, що

 

Якщо   та   мають множини-носії та   має обернене відображення  , тоді   є бієктивним. Дійсно,   є ін'єктивним, оскільки з   випливає, що  , та   є сюр'єктивним, так як для будь-якого   з   маємо, що  , і   є образом елемента з  .

Навпаки, якщо   — бієктивний гомоморфізм між алгебраїчними структурами, нехай   — таке відображення, щоб   єдиний елемент   з   такий, що  . Маємо, що   та  , і залишається лише показати, що   є гомоморфізмом. Якщо   є бінарною операцією структури, то для будь-якої пари  ,   елементів з   маємо:

 

і, таким чином,   сумісний з операцією  . Оскільки доведення аналогічне для будь-якої арності, то це означає, що   — гомоморфізм.

Це доведення не працює для неалгебраїчних структур. Наприклад, для топологічних просторів морфізм є неперервним відображенням, а обернене до бієктивного неперервного відображення не обов'язково є неперервним. Ізоморфізм топологічних просторів, який називається гомеоморфізмом або бінеперервним відображенням, таким чином, є бієктивним неперервним відображенням, обернене до якого також є неперервним.


ЕндоморфізмРедагувати

Ендоморфізм — гомоморфізм алгебраїчної категорії самої в себе.

АвтоморфізмРедагувати

Автоморфізм — ендоморфізм, що є одночасно ізоморфізмом.

МономорфізмРедагувати

Мономорфізмін'єктивний гомоморфізм.

ЕпіморфізмРедагувати

Епіморфізмсюр'єктивний гомоморфізм.

Вищеозначені терміни використовуються і в теорії категорій, де вони визначені загальнішим чином.

Ядро та образ гомоморфізмуРедагувати

 

Відношення   називається ядром  .

ВластивостіРедагувати

  • Множина всіх ендоморфізмів множини   утворює моноїд, позначається  .
  • Множина всіх автоморфізмів множини   утворює групу, позначається  .

Практичне значенняРедагувати

Поняття гомоморфізму і споріднені з ним поняття ізоморфізму і автоморфізму мають величезне практичне значення, так як вони дозволяють представляти одну модель іншою моделлю.

Див. такожРедагувати

ПриміткиРедагувати

  1. Fricke, Robert (1897–1912). Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. B.G. Teubner. OCLC 29857037. 
  2. Див.:
  3. Birkhoff, Garrett (1967). Lattice theory. American Mathematical Society Colloquium Publications 25 (вид. 3rd). Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-1025-5. MR 598630.  Проігноровано невідомий параметр |orig-year= (довідка)
  4. Stanley N. Burris; H.P. Sankappanavar (2012). A Course in Universal Algebra. ISBN 978-0-9880552-0-9. 

НотаткиРедагувати

  1. Як це часто буває, але не завжди, тут використовуються однаковi символи для операцiї для обох множин   та  .

ЦитуванняРедагувати

ЛітератураРедагувати