Гомоморфізм

В алгебрі гомоморфізм — це зберігаюче структуру відображення^[en] між двома алгебричними структурами того ж самого типу (наприклад, двома групами, двома кільцями, двома векторами просторами).

Слово гомоморфізм у перекладі з давньогрецької грец. homos – однаковий і грец. morphe – форма, вид.^[1] Цей термін з'явився ще в 1892, його припусували німецькому математику Феліксу Клейну (1849—1925).^[2]

Гомоморфізми двох векторних просторів також називають лінійними відображеннями, а їх дослідженнями займається лінійна алгебра.

Поняття гомоморфізму було узагальнено під назвою морфізм для багатьох структур, що не мають множини-носія або не є алгебраїчними. Це узагальнення — відправна точка теорії категорій

Гомоморфізм може також бути ізоморфізмом, ендоморфізмом, автоморфізмом і т.п. (дивись нижче). Кожен з цих гомоморфізмів може бути визначений способом, який можна узагальнити до будь-якого класу морфізмів.

ОзначенняРедагувати

Гомоморфізм — це відображення між двома алгебричними структурами одного типу (з однаковими назвами), що зберігає операції цих структур. Це означає відображення $f\colon A\rightarrow B$ між двома множинами $A$ , $B$ , які мають однакові структуру такі, що якщо $\cdot$ — операція цієї структури (для спрощення вважаємо її бінарною операцією), тоді

f(x\cdot y)=f(x)\cdot f(y)

для будь-якої пари елементів $x$ , $y$ множини $A$ .^{[note 1]} Часто говорять, що гомоморфізм $f$ зберігає операцію або сумісний з операцією.

Формально, відображення $f\colon A\rightarrow B$ зберігає операцію $\mu$ арності $k$ , яка визначена на обох множинах, якщо

f(\mu _{A}(a_{1},\dots ,a_{k}))=\mu _{B}(f(a_{1},\dots ,f(a_{k}))

,

для всіх елементів $a_{1},\dots ,a_{k}$ множини $A$ .

Операції, що повинні зберігатися при гомоморфізмі, включають 0-арні операції, тобто константи. Зокрема, коли нейтральний елемент вимагається типом структури, то нейтральний елемент першої структури має відображатися в відповідний нейтральний елемент другої структури.

Наприклад,

Гомоморфізм напівгруп — це відображення між напівгрупами, що зберігає операції напівгруп.

Гомоморфізм моноїдів^[en] — це відображення між моноїдами, що зберігає операції моноїдів та відображає нейтральний елемент першого моноїду у нейтральний елемент другого моноїду (нейтральний елемент це 0-арні операція).

Гомоморфізм груп — це відображення між двома групами, що зберігає операції груп.

З цього випливає, що гомоморфізм груп відображає нейтральний елемент першої групи у нейтральний елемент другої групи, та відображає обернений елемент першої групи у обернений образ цього елемента. Тому, гомоморфізм напівгруп між групами обов'язково є гомоморфізмом груп.

Гомоморфізм кілець — це відображення між кільцями, що зберігає додавання в кільцях, множення в кільцях та мультиплікативні тотожності.

Лінійне відображення — це гомоморфізм векторних просторів, тобто гомоморфізм груп між векторними просторами, що зберігає структури абелевих груп та множення на скаляр●.

Гомоморфізм модулів^[en], також називають лінійним відображення між модулями, визначають аналогічним чином.

Гомоморфізм алгебр^[en] — це відображення, що зберігає операції алгебри.

Алгебраїчна структура може мати більше однієї операція та гомоморфізм повинен зберігати кожну операцію. Таким чином, відображення, що зберігає тільки деякі операції не є гомоморфізмом структури, але лише гомоморфізмом субструктури, що отримується при розгляді лише збережених операцій. Наприклад, відображення між моноїдами, що зберігає операцію моноїда, а не нейтральний елемент, не є гомоморфізмом моноїду, але є гомоморфізмом напівгрупи.

При гомоморфізмі між алгебричними структурами позначення операцій в них не обов'язково повинні збігатися. Наприклад, дійсні числа утворюють групу з операцією додавання, а додатні дійсні числа утворюють групу з операцією множення. Експонента

x\mapsto {\rm {e}}^{x}

задовольняє співвідношення

{\rm {e}}^{x+y}={\rm {e}}^{x}{\rm {e}}^{y}

та визначає гомоморфізм між цими двома групами. Більш того, це навіть ізоморфізм (дивись нижче), бо її обернена функція (натуральний логарифм) задовольняє співвідношення

\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)

і це також гомоморфізм між групами.

В термінах універсальної алгебри, це відображення^[en] $\phi \colon A\rightarrow B$ , алгебричної системи $A$ в алгебраїчну систему $B$ того ж типу, що зберігає алгебраїчну операцію:

\phi (f_{A}(x_{1},\ldots ,x_{n}))=f_{B}(\phi (x_{1}),\ldots ,\phi (x_{n}))

для кожної $n$ -арної операції $f$ і $\forall x_{i}\in A$ .

Базові прикладиРедагувати

Гомоморфізм моноїду

f

з моноїду

(\mathbb {N} ,+,0)

у моноїд

(\mathbb {N} ,\times ,1)

визначається функцією

f(x)=2^{x}

. Гомоморфізм є ін'єктивним, але не є сюр'єктивним.

Дійсні числа є кільцем, що має додавання і множення. Множина всіх $2\times 2$ матриць також кільце над додаванням матриць і множенням матриць. Якщо ми визначимо функцію між цими кільцями так:

f(r)={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}

де $r$ дійсне число. Тоді $f$ — гомоморфізм кілець, бо $f$ зберігає і додавання:

f(r+s)={\begin{pmatrix}r+s&0\\0&r+s\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}}=f(r)+f(s)

і множення:

f(rs)={\begin{pmatrix}rs&0\\0&rs\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}}=f(r)\,f(s).

Інший приклад, ненульові комплексні числа утворюють групу над множенням, так само як ненульові дійсні числа. (Нуль треба виключити, бо він не має оберненого елемента, який повинен бути в елементів групи.) Визначимо функцію $f$ з ненульових комплексних чисел в ненульові дійсні числа так

f(z)=|z|.\,\!

Де, $f(z)$ — абсолютне значення (або модуль) комплексного числа $z$ . Тоді $f$ — гомоморфізм групи, бо воно зберігає множення:

f(z_{1}z_{2})=|z_{1}z_{2}|=|z_{1}|\,|z_{2}|=f(z_{1})\,f(z_{2}).

Зауважте, що $f$ не можна поширити на гомоморфізм груп (з комплексних в дійсні), бо вона не зберігає додавання:

|z_{1}+z_{2}|\neq |z_{1}|+|z_{2}|.

Як приклад на діаграмі показано гомоморфізм моноїду $f$ від моноїду $(\mathbb {N} ,+,0)$ до моноїду $(\mathbb {N} ,\times ,1)$ . Завдяки різним назвам відповідних операцій, властивості збереження структури, яким задовольняє $f$, запишуться як $f(x+y)=f(x)\times f(y)$ та $f(0)=1$ .

Композиційна алгебра^[en] $A$ над полем $\mathbb {F}$ має [[Квадратична форма|квадратичну форму\\, яка називається нормою, $N\colon A\rightarrow \mathbb {F}$ , яка є груповим гомоморфізмом з мультиплікативної групи^[en] алгебри $A$ у мутиплікативну групу поля $\mathbb {F}$ .

Типи гомоморфізмівРедагувати

Кожен тип алгебричних структур має свій гомоморфізм:

Часткові випадкиРедагувати

Декілька видів гомоморфізму мають спеціальні назви, які також визначаються для загальних морфізмов.

ІзомормізмРедагувати

Ізоморфізм — бієктивний гомоморфізм.^[3]^:134 ^[4]^:28 Ізоморфізм між алгебричними структурами одного типу зазвичай визначають як бієктивний гомоморфізм.

У більш загальному контексті теорії категорій ізоморфізм визначається як морфізм, який має обернене відображення, яке також є морфізмом. У випадку алгебраїчних структур ці два означення є еквівалентними, хоча вони можуть відрізнятися для неалгебраїчних структур, які мають множину-носія.

Точніше, якщо

f\colon \ A\to B

є (гомо)морфізмом, то він має обернений, якщо існує гомоморфізм

g\colon \ B\to A

такий, що

f\circ g=\operatorname {Id} _{B}\quad {\text{та}}\quad g\circ f=\operatorname {Id} _{A}.

Якщо $A$ та $B$ мають множини-носії та $f\colon A\to B$ має обернене відображення $g$ , тоді $f$ є бієктивним. Дійсно, $f$ є ін'єктивним, оскільки з $f(x)=f(y)$ випливає, що $x=g(f(x))=g(f(y))=y$ , та $f$ є сюр'єктивним, так як для будь-якого $x$ з $B$ маємо, що $x=f(g(x))$ , і $x$ є образом елемента з $A$ .

Навпаки, якщо $f\colon A\to B$ — бієктивний гомоморфізм між алгебраїчними структурами, нехай $g\colon B\to A$ — таке відображення, щоб $g(y)$ єдиний елемент $x$ з $A$ такий, що $f(x)=y$ . Маємо, що $f\circ g=\operatorname {Id} _{B}$ та $g\circ f=\operatorname {Id} _{A}$ , і залишається лише показати, що $g$ є гомоморфізмом. Якщо $*$ є бінарною операцією структури, то для будь-якої пари $x$ , $y$ елементів з $B$ маємо:

g(x*_{B}y)=g(f(g(x))*_{B}f(g(y)))=g(f(g(x)*_{A}g(y))))=g(x)*_{A}g(y)

і, таким чином, $g$ сумісний з операцією $*$ . Оскільки доведення аналогічне для будь-якої арності, то це означає, що $g$ — гомоморфізм.

Це доведення не працює для неалгебраїчних структур. Наприклад, для топологічних просторів морфізм є неперервним відображенням, а обернене до бієктивного неперервного відображення не обов'язково є неперервним. Ізоморфізм топологічних просторів, який називається гомеоморфізмом або бінеперервним відображенням, таким чином, є бієктивним неперервним відображенням, обернене до якого також є неперервним.

ЕндоморфізмРедагувати

Ендоморфізм — гомоморфізм алгебраїчної категорії самої в себе.

АвтоморфізмРедагувати

Автоморфізм — ендоморфізм, що є одночасно ізоморфізмом.

МономорфізмРедагувати

Мономорфізм — ін'єктивний гомоморфізм.

ЕпіморфізмРедагувати

Епіморфізм — сюр'єктивний гомоморфізм.

Вищеозначені терміни використовуються і в теорії категорій, де вони визначені загальнішим чином.

Ядро та образ гомоморфізмуРедагувати

Гомоморфізм $\phi \colon A\rightarrow B$ визначає відношення еквівалентності $\sim$ в $A$ так:

\ x\sim y\;\;\iff \;\;\phi {(x)}=\phi {(y)}.

Відношення $\sim$ називається ядром $\phi$ .

Фактор-множина $X/\!\sim$ ізоморфна образу $\phi$ .

ВластивостіРедагувати

Множина всіх ендоморфізмів множини $X$ утворює моноїд, позначається $\mathrm {End} \,(X)$ .
Множина всіх автоморфізмів множини $X$ утворює групу, позначається $\mathrm {Aut} \,(X)$ .

Практичне значенняРедагувати

Поняття гомоморфізму і споріднені з ним поняття ізоморфізму і автоморфізму мають величезне практичне значення, так як вони дозволяють представляти одну модель іншою моделлю.

Див. такожРедагувати

ПриміткиРедагувати

↑ Fricke, Robert (1897–1912). Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. B.G. Teubner. OCLC 29857037.
↑
Див.:
- Ritter, Ernst (1892). Die eindeutigen automorphen Formen vom Geschlecht Null, eine Revision und Erweiterung der Poincaré'schen Sätze [The unique automorphic forms of genus zero, a revision and extension of Poincaré's theorem]. Mathematische Annalen (нім.) 41: 1–82. doi:10.1007/BF01443449. From footnote on p. 22: "Ich will nach einem Vorschlage von Hrn. Prof. Klein statt der umständlichen und nicht immer ausreichenden Bezeichnungen: "holoedrisch, bezw. hemiedrisch u.s.w. isomorph" die Benennung "isomorph" auf den Fall des holoedrischen Isomorphismus zweier Gruppen einschränken, sonst aber von "Homomorphismus" sprechen, … " (Following a suggestion of Prof. Klein, instead of the cumbersome and not always satisfactory designations "holohedric, or hemihedric, etc. isomorphic", I will limit the denomination "isomorphic" to the case of a holohedric isomorphism of two groups; otherwise, however, [I will] speak of a "homomorphism", … )
- Fricke, Robert (1892). Ueber den arithmetischen Charakter der zu den Verzweigungen (2,3,7) und (2,4,7) gehörenden Dreiecksfunctionen [On the arithmetic character of the triangle functions belonging to the branch points (2,3,7) and (2,4,7)]. Mathematische Annalen (нім.) 41: 443–468. doi:10.1007/BF01443421. From p. 466: "Hierdurch ist, wie man sofort überblickt, eine homomorphe*) Beziehung der Gruppe Γ₍₆₃₎ auf die Gruppe der mod. n incongruenten Substitutionen mit rationalen ganzen Coefficienten der Determinante 1 begründet." (Thus, as one immediately sees, a homomorphic relation of the group Γ₍₆₃₎ is based on the group of modulo n incongruent substitutions with rational whole coefficients of the determinant 1.) From footnote on p. 466: "*) Im Anschluss an einen von Hrn. Klein bei seinen neueren Vorlesungen eingeführten Brauch schreibe ich an Stelle der bisherigen Bezeichnung "meroedrischer Isomorphismus" die sinngemässere "Homomorphismus"." (Following a usage that has been introduced by Mr. Klein during his more recent lectures, I write in place of the earlier designation "merohedral isomorphism" the more logical "homomorphism".)
↑ Birkhoff, Garrett (1967). Lattice theory. American Mathematical Society Colloquium Publications 25 (вид. 3rd). Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-1025-5. MR 598630. Проігноровано невідомий параметр |orig-year= (довідка)
↑ Stanley N. Burris; H.P. Sankappanavar (2012). A Course in Universal Algebra. ISBN 978-0-9880552-0-9.