Радикал (теорія кілець)

В абстрактній алгебрі радикалом ідеалу $I\,$ в комутативному кільці $R\,$, називається множина:

${\sqrt {I}}=\{f\in R:\,\exists n\in \mathbb {N} \,\,f^{n}\in I\}$.

Ідеал, що збігається зі своїм радикалом має назву радикальний ідеал.

Властивості

• Радикал ідеалу теж є ідеалом.

Нехай $P\;$ деяке комутативне кільце, a $x,y\in P$ два елементи, що належать радикалу ідеалу $I\,$. Нехай $m,n\in \mathbb {N}$ такі, що $x^{m}=0\;$ та $y^{n}=0\;$. З комутативності $x\;$ і $y\;$ можна використати формулу бінома Ньютона для $(x+y)^{m+n}\;$:

$(x+y)^{m+n}=\sum _{k=0}^{m+n}{\binom {m+n}{k}}x^{k}y^{m+n-k}$

При $0\leqslant k<m\;$ маємо $m+n-k>n\;$, тоді $y^{m+n-k}\in I\;$ і доданки, що відповідають тим індексам $k\;$ рівні нулю. Однак при $k\geqslant m\;$, одержується $x^{k}=0\;$. Тобто всі доданки належать $I\,$ і, зважаючи на замкнутість ідеалів щодо додавання, $x+y\;$ є елементом радикалу ${\sqrt {I}}$.

Далі якщо $r\in R$ — деякий елемент кільця і $a\in {\sqrt {I}}$ — елемент радикалу такий, що $a^{n}=0\,$, тоді $(ar)^{n}=a^{n}r^{n}=0\,$ тобто $ar\in {\sqrt {I}}$, що доводить твердження.

• Радикал ідеалу $I\,$ рівний перетину всіх простих ідеалів, що містять $I\,$.(Див. статтю Простий ідеал).

Приклади

Нехай $\mathbb {Z}$ — кільце цілих чисел.

1. Радикал $4\mathbb {Z}$ чисел, що діляться на 4 рівний $2\mathbb {Z}$.
2. Радикал $5\mathbb {Z}$ рівний $5\mathbb {Z}$.
3. Радикал $12\mathbb {Z}$ рівний $6\mathbb {Z}$.

Література

• David Eisenbud, Commutative Algebra With a View Toward Algebraic Geometry, New York : Springer-Verlag, 1999.