Факторіальне кільце

Факторіа́льне кільце́область цілісності , в якій кожен необоротний елемент представляється у вигляді добутку незвідних елементів , причому даний розклад єдиний в тому сенсі, що якщо то і після перенумерації маємо для всіх , де — оборотний елемент кільця (такі елементи називаються асоційованими). Самі елементи можуть бути теж асоційованими і навіть рівними.

ПрикладиРедагувати

ВластивостіРедагувати

  • Довільний незвідний елемент факторіального кільця, є простим.
Нехай   — незвідний елемент факторіального кільця  . Тоді   є необоротним. Якщо  , тоді   де  . Елементи   можна записати як добутки незвідних елементів:
 
Тоді  
Оскільки   є факторіальним кільцем то кожен елемент у добутку справа є рівним добутку одного із   незвідних елементів з лівої сторони, тобто   або   і оборотного елемента. Відповідно або   або  . Тобто   є простим ідеалом   і   є простим елементом.
  • Якщо R є факторіальним кільцем, то і кільце многочленів R[x] є факторіальним. Звідси випливає, що і кільце R[x1...xn] є факторіальним.
  • Кільце R є факторіальним тоді і тільки тоді коли довільний його простий ідеал містить простий елемент.
  • Якщо у області цілісності   існує множина простих елементів   таких, що кожен елемент із   є добутком деяких елементів   і оборотного елемента, то   є факторіальним кільцем.
Оскільки   є областю цілісності, то всі   є незвідними елементами і кожен незвідний елемент із   є добутком якогось одного елемента   і оборотного елемента. З умови кожен елемент   є добутком незвідних елементів. Якщо   то кожен з   є добутком якогось із   і оборотного елемента. Оскільки   є простим елементом, що ділить добуток, то   ділить якийсь із   Але   де   — оборотний елемент. Тому   ділить   Також   і тому також   ділить   (  є простим і має ділити   або  , в останньому випадку   був би оборотним, що неможливо). Тому   і  , а тому   і   відрізняються лише добутком на оборотний елемент. Скорочуючи і продовжуючи процес отримуємо, що   є факторіальним кільцем.
  • Локалізація факторіального кільця по довільній мультиплікативній системі є факторіальним кільцем.
Нехай   — незвідний елемент факторіального кільця. Якщо   то   є простим ідеалом у   а тому   є простим елементом. Із попереднього достатньо довести, що кожен ненульовий елемент   є добутком таких елементів і оборотного елемента.
Спершу зауважимо, що якщо   то   є оборотним елементом. Якщо   то оберненим елементом буде  
Нехай   Якщо   є розкладом b у добуток незвідних елементів, то   є розкладом b/1 у добуток незвідних і оборотних елементів.
Тоді   дає необхідний результат оскільки 1/s є оборотним елементом.
  • Теорема Нагати. Нехай   є областю цілісності,   — деяка множина простих елементів і S — мультиплікативна множина елементами якої є скінченні добутки скінченних кількостей елементів  (добуток пустої множини вважається рівним 1). Нехай   задовольняють умову: для кожного елемента   існують   для яких b = sb' і b' не належить жодному із головних ідеалів   Тоді якщо локалізація   то і   є факторіальним кільцем. Вказана умова, зокрема, виконується для всіх нетерових кілець або кілець всі ненульові елементи яких є добутками незвідних елементів.

Некомутативний випадокРедагувати

Хоч термін «Факторіальне кільце» використовується переважно для комутативних кілець, подане вище означення можна узагальнити для некомутативного випадку.

Нехай R — деяке кільце, що не має дільників нуля. Дане кільце називається факторіальним, якщо довільний необоротний елемент a представляється у вигляді добутку незвідних елементів a=p1·...·pn (n≥1) причому даний розклад єдиний в тому сенсі, що якщо p1·...·pn=q1·...·qm, то m=n і після перенумерації маємо, що фактор-кільця   і   є ізоморфними[1].

ПрикладРедагувати

Множина кватерніонів a = a0 + a1i + a2j + a3k, де a0, a1, a2, a3 — цілі числа або непарні цілі числа поділені на 2 є некомутативним факторіальним кільцем.

ПриміткиРедагувати

  1. Sivaramakrishnan. Certain number-theoretic episodes in algebra, ст. 245

ЛітератураРедагувати