Теорема Аусландера — Бухсбаума

У комутативній алгебрі теорема Аусландера — Бухсбаума стверджує, що кожне регулярне локальне кільце є факторіальним кільцем.

Теорема була доведена у 1959 році американськими математиками Морісом Аусландером і Девідом Бухсбаумом для регулярних локальних кілець розмірності 3. До того Масайоші Нагата довів, що з цього випливає твердження для всіх регулярних локальних кілець.

Доведення

Лема 1

Нехай R — нетерова область цілісності. Тоді R є факторіальним кільцем якщо і тільки якщо кожний простий ідеал висоти 1 у R є головним.

Доведення леми 1

Припустимо, що R є факторіальним кільцем, ${\mathfrak {p}}$ — простий ідеал висоти 1. Нехай $a\in {\mathfrak {p}},a\neq 0,$ і p є незвідним дільником a. Тоді $Rp\subset {\mathfrak {p}}$ і з того що $\operatorname {ht} P=1$ і Rp є простим ідеалом, $Rp={\mathfrak {p}},$ тобто ${\mathfrak {p}}$ є головним ідеалом.

Навпаки припустимо, що кожен простий ідеал висоти 1 є головним. Оскільки R є нетеровим кільцем, кожен елемент $a\in R,$ що не є оборотним можна записати як скінченний добуток незвідних елементів. Достатньо довести, що кожен незвідний елемент є простим. Нехай $a\in R$ є незвідним елементом і ${\mathfrak {p}}$ — мінімальний простий ідеал над (a). Тоді $\operatorname {ht} {\mathfrak {p}}=1$ і, за припущенням, ${\mathfrak {p}}$ є головним ідеалом. Тому ${\mathfrak {p}}=Rp,$ де p є простим елементом. Також p ділить незвідний елемент a, тому p = ua, де u є оборотним елементом. Звідси також a є простим елементом.

Лема 2

Нехай R — кільце і M — проективний R-модуль. Якщо для M існує скінченна вільна резольвента

$0\to M_{n}\to M_{n-1}\to \ldots \to F_{0}\to M\to 0$

де всі $M_{i}$ є вільними модулями скінченного рангу, то існує скінченнопороджений вільний модуль F, для якого $M\oplus F$ є вільним модулем скінченного рангу.

Доведення леми 2

Доведення індукцією по n. Якщо n = 0 то $M\simeq F_{0}$ є скінченнопородженим вільним модулем. Нехай $n$ > 0 і $K=\operatorname {Ker} (F_{0}\to M).$ Оскільки M є проективним модулем, $F_{0}=M\oplus K$ і для K існує вільна резольвента довжини n - 1. За індукцією існує скінченнопороджений вільний модуль F' для якого $K\oplus F'=F$ є скінченнопородженим вільним модулем. Тоді $M\oplus F=M\oplus K\oplus F'\simeq F_{0}\oplus F',$ тож $M\oplus F$ є скінченнопородженим вільним модулем.

Лема 3

При тих же умовах, що і в попередній лемі, якщо $M\oplus R^{n}\simeq R^{n+1},$ то $M\simeq R.$

Доведення леми 3

Для кожного простого ідеалу ${\mathfrak {p}}$ виконується $M_{\mathfrak {p}}\oplus R_{\mathfrak {p}}^{n}\simeq R_{\mathfrak {p}}^{n+1}$ тому M є проективним модулем сталого рангу 1. Крім того для i > 1 маємо

$\left(\bigwedge _{R}^{i}\right)_{\mathfrak {p}}\simeq R_{\mathfrak {p}}\otimes \bigwedge _{R}^{i}M\simeq \bigwedge _{R_{\mathfrak {p}}}^{i}\left(R_{\mathfrak {p}}\otimes _{R}M\right)\simeq \bigwedge _{R_{\mathfrak {p}}}^{i}M_{\mathfrak {p}}.$

Оскільки попереднє виконується для всіх простих ідеалів, то для i > 1 також $\bigwedge _{R}^{i}M=0.$

Тому

$R=\bigwedge ^{n+1}R^{n+1}\simeq \bigwedge ^{n+1}(M\oplus R^{n})\simeq \bigoplus _{i+j=n+1}\bigwedge ^{i}M\otimes \bigwedge ^{j}R^{n}\simeq \bigwedge ^{0}M\otimes \bigwedge ^{n+1}R^{n}\oplus \bigwedge ^{1}M\otimes \bigwedge ^{n}R^{n}\simeq M\otimes _{R}R\simeq M.$

Лема 4

Нехай I — ненульовий проективний ідеал кільця R для якого існує скінченна вільна резольвента. Тоді I є головним ідеалом.

Доведення леми 4

Згідно леми 2 існує скінченнопороджений модуль F такий що $I\oplus F=F',$ де $F'$ є скінченнопородженим вільним модулем. Оскільки $I_{\mathfrak {p}}\oplus F_{\mathfrak {p}}\simeq F'_{\mathfrak {p}},$ як модуль I має сталий ранг рівний $\operatorname {rank} F'-\operatorname {rank} F.$ Оскільки I є ненульовим проективним ідеалом, то $\operatorname {rank} I=1.$ Тому з Леми 3 $I\simeq R.$

Доведення теореми Аусландера — Бухсбаума

Доведення індукцією по $d=\dim R.$ Якщо d = 0, то R є полем.

Припустимо d > 0. Оскільки R є областю цілісності, згідно леми 1 досить довести, що кожен простий ідеал висоти 1 є головним.

Нехай ${\mathfrak {p}}$ буде таким ідеалом. Оскільки d > 0, то ${\mathfrak {m}}\neq {\mathfrak {m}}^{2}$ і можна обрати елемент $a\in {\mathfrak {m}}\setminus {\mathfrak {m}}^{2}.$ З того що $\{a\}$ є частиною регулярної системи параметрів ідеал Ra є простим ідеалом, тобто a є простим елементом. Якщо $a\in {\mathfrak {p}},$ то $Ra\subset {\mathfrak {p}}$ і оскільки ${\mathfrak {p}}$ має висоту 1, то ${\mathfrak {p}}=Ra$ є головним ідеалом.

Нехай тепер $a\neq {\mathfrak {p}}$ і розглянемо мультиплікативно замкнуту множину $S=\{a^{n}|n\geqslant 0\}.$ Якщо $R'=S^{-1}R,$ то ${\mathfrak {p}}'={\mathfrak {p}}R'$ є простим ідеалом кільця R' з висотою 1.

Ідеал P' є головним ідеалом. Для цього спершу доведемо, що ідеал P' є проективним ідеалом у кільці R' .

Нехай Q' = QR' — будь-який простий ідеал у кільці R' , де Q є простим ідеалом кільця R. Тоді $Q\neq {\mathfrak {m}},$ тому що $a\not \in Q.$

Маємо $R'_{Q'}\simeq R_{Q}$ є регулярним локальним кільцем розмірності меншої, ніж $\dim R.$ Тому за припущенням індукції, $R'_{Q'}$ є факторіальним кільцем. Із цього випливає також, що ${\mathfrak {p}}'R'_{Q'},$ який є простим ідеалом висоти 1 є головним ідеалом. Оскільки головний ідеал у області цілісності є вільним модулем, то ${\mathfrak {p}}'R'_{Q'}$є вільним, а тому і проективним модулем.

Оскільки проективна розмірність є рівною супремуму по всіх локалізаціях за простими ідеалами, то $pd_{R'}{\mathfrak {p}}'=\sup _{Q'}pd_{R'_{Q'}}{\mathfrak {p}}'R'_{Q'}=0.$ Тому ${\mathfrak {p}}'$ є R' -проективним модулем. Також для ${\mathfrak {p}}'$існує скінченна вільна резольвента. Справді оскільки глобальна розмірність кільця R є скінченною то для ${\mathfrak {p}}$ існує скінченна вільна R-резольвента і тому для ${\mathfrak {p}}'={\mathfrak {p}}R'$ також існує скінченна вільна R' -резольвента.

Згідно леми 4 ${\mathfrak {p}}'$ є головним ідеалом у R' . Нехай ${\mathfrak {p}}'=R'p,$ де $p\in {\mathfrak {p}}.$ Без втрати загальності можна вважати, що a не ділить p. Тоді ${\mathfrak {p}}=Rp.$ Очевидно $Rp\subset {\mathfrak {p}}.$ Нехай $x\in {\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}'\cap R.$ Можна записати $x={\frac {b}{a^{m}}}p$ або $a^{m}x=bp.$ З того що a є простим елементом, що не ділить p, випливає $a^{m}|b.$ Тому $x\in Rp,$ тобто ${\mathfrak {p}}=Rp.$

Див. також

• Регулярне локальне кільце

Література

• Auslander, Maurice; Buchsbaum, D. A. (1959), Unique factorization in regular local rings, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 45: 733—734, doi:10.1073/pnas.45.5.733, ISSN 0027-8424, JSTOR 90213, MR 0103906, PMC 222624, PMID 16590434
• Nagata, Masayoshi (1958), A general theory of algebraic geometry over Dedekind domains. II. Separably generated extensions and regular local rings, American Journal of Mathematics, 80: 382—420, doi:10.2307/2372791, ISSN 0002-9327, JSTOR 2372791, MR 0094344