Головний ідеал

Головний ідеал — в теорії кілець, що є розділом абстрактної алгебри, це такий ідеал, що породжений одним елементом кільця R.

Визначення

• Лівий головний ідеал кільця R це така підмножина кільця Ra := {ra : r in R};
• Правий головний ідеал кільця R це така підмножина кільця aR := {ar : r in R};
• Двосторонній головний ідеал кільця R це така підмножина кільця RaR := {r₁as₁ + ... + r_nas_n : r₁,s₁,...,r_n,s_n in R}.

Для комутативного кільця всі три поняття збігаються.

Наприклад, ідеали $n\mathbb {Z}$ кільця цілих чисел $\mathbb {Z}$ всі є головними. Усі ідеали $\mathbb {Z}$ є головними.

Приклад не головного ідеала

Не всі ідеали є головними. Наприклад, розглянемо комутативне кільце C[x,y] всіх многочленів від двох змінних x і y, з комплексними коефіцієнтами. Ідеал ⟨x,y⟩ породжений x і y, тобто такий, що містить усі многочлени з C[x,y] вільний член яких дорівнює нулю, не є головним. Щоб побачити це, припустимо що p є генератором для ⟨x,y⟩; тоді x і y були б подільні на p, оскільки і x, і y входять в ⟨x,y⟩, що можливо лише якщо p є ненульовою сталою. Але єдина стала у ⟨x,y⟩ це нуль, отже, протиріччя.

Література

• Курош А. Г. Общая алгебра. — М. : Мир, 1970. — 162 с.(рос.)

• Кон П. Универсальная алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 351 с.(рос.)

Див. також

• Кільце головних ідеалів