Кільце головних ідеалів

Кільце головних ідеалівасоціативне кільце R з одиницею, в якому всі ліві і праві ідеали є головними, тобто мають вигляд Ra і aR, відповідно, де . Кільце головних ідеалів без дільників нуля називається областю головних ідеалів.

ПрикладиРедагувати

  • Кільце цілих чисел;
  • Кільце многочленів F[х] над полем F;
  • Довільне евклідове кільце є областю головних ідеалів. Зворотне твердження невірне. Наприклад кільце   є областю головних ідеалів але не є евклідовим кільцем.

ВластивостіРедагувати

 
Елементи (а, b) і [а, b] єдині з точністю до оборотного правого множника.
  • Область головних ідеалів є областю з однозначним розкладом на множники (факторіальним кільцем).
  • Двосторонні ідеали області головних ідеалів утворюють щодо множення вільну комутативну напівгрупу з нулем і одиницею (породжуючими елементами цієї напівгрупи будуть максимальні ідеали кільця).
  • Довільне кільце головних ідеалів є кільцем Нетер.

Модулі над кільцем головних ідеалівРедагувати

Підмодуль N вільного модуля М скінченного рангу n над кільцем головних ідеалів R є вільним модулем рангу   над R, і в модулях М і N можна так вибрати базиси   і  , що  , де   і   — є повним (тобто  ) дільником елементів   при j < i.

Кожен скінченно породжений модуль K над R є прямою сумою циклічних модулів   , де   і   — повний дільник   при  . Ця теорема узагальнює основну теорему про скінченнопороджені абелеві групи. Елементи  , з попередньої теореми визначені однозначно з точністю до подібності. Ці елементи називаються інваріантними множниками модуля K.

Крім того, модуль K можна представити у вигляді прямої суми далі нерозкладних циклічних модулів  , де  . Елементи  , визначені однозначно з точністю до подібності і називаються елементарними дільниками модуля К. Якщо область головних ідеалів R комутативна, то   або  , де   - незвідні (прості) елементи кільця R. Із попередніх тверджень випливають звичайні властивості елементарних дільників і інваріантних множників лінійних перетворень скінченновимірних векторних просторів.

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • Главных идеалов кольцо. Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 1. Советская энциклопедия, 1984.
  • Джекобсон Н., Теория колец, пер. с англ., М., 1947;