Кільце головних ідеалів

Кільце головних ідеалів — асоціативне кільце R з одиницею, в якому всі ліві і праві ідеали є головними, тобто мають вигляд Ra і aR, відповідно, де $a\in R$. Кільце головних ідеалів без дільників нуля називається областю головних ідеалів.

Приклади

• Кільце цілих чисел;
• Кільце многочленів F[х] над полем F;
• Довільне евклідове кільце є областю головних ідеалів. Зворотне твердження невірне. Наприклад кільце $\mathbb {Z} \left[{\frac {1+{\sqrt {-19}}}{2}}\right]$ є областю головних ідеалів але не є евклідовим кільцем.

Властивості

• Комутативне кільце головних ідеалів є прямою сумою областей головних ідеалів і кілець головних ідеалів, що мають єдиний простий ідеал, що є нільпотентним.
• Якщо R — область головних ідеалів, то два ненульові елементи a, b кільця R мають найбільший спільний лівий дільник (a, b) і найменше спільне праве кратне [а, b], які визначаються як елементи, що задовольняють рівності:

$aR+bR=(a,b)R;\quad aR\cap bR=[a,b]R.$

Елементи (а, b) і [а, b] єдині з точністю до оборотного правого множника.

• Область головних ідеалів є областю з однозначним розкладом на множники (факторіальним кільцем).
• Двосторонні ідеали області головних ідеалів утворюють щодо множення вільну комутативну напівгрупу з нулем і одиницею (породжуючими елементами цієї напівгрупи будуть максимальні ідеали кільця).
• Довільне кільце головних ідеалів є кільцем Нетер.

Модулі над кільцем головних ідеалів

Підмодуль N вільного модуля М скінченного рангу n над кільцем головних ідеалів R є вільним модулем рангу $k\leq n$ над R, і в модулях М і N можна так вибрати базиси $a_{1},a_{2},\ldots a_{n}$ і $b_{1},b_{2},\ldots b_{k}$, що $b_{j}=e_{j}a_{j},\,1\leq j\leq k$, де $e_{j}\in R$ і $e_{j}$ — є повним (тобто $e_{j}R\cap Re_{j}\supseteq Re_{i}R$) дільником елементів $e_{i}$ при j < i.

Кожен скінченно породжений модуль K над R є прямою сумою циклічних модулів $R/e_{j}R,\quad 1\leq j\leq m$ , де $e_{j}\in R$ і $e_{j}$ — повний дільник $e_{i}$ при $j<i,e_{j}\neq 0$. Ця теорема узагальнює основну теорему про скінченнопороджені абелеві групи. Елементи $e_{j},\quad 1\leq j\leq m$, з попередньої теореми визначені однозначно з точністю до подібності. Ці елементи називаються інваріантними множниками модуля K.

Крім того, модуль K можна представити у вигляді прямої суми далі нерозкладних циклічних модулів $R/e_{j}R$, де $e_{j}\in R,\quad 1\leq j\leq k$. Елементи $e_{j},\quad 1\leq j\leq k$, визначені однозначно з точністю до подібності і називаються елементарними дільниками модуля К. Якщо область головних ідеалів R комутативна, то $q_{j}R=0$ або $q_{j}R=p_{j}^{n_{j}},\quad 1\leq j\leq k$, де $p_{j}$ - незвідні (прості) елементи кільця R. Із попередніх тверджень випливають звичайні властивості елементарних дільників і інваріантних множників лінійних перетворень скінченновимірних векторних просторів.

Див. також

• Кільце Безу
• Область головних ідеалів

Джерела

• Бондаренко Є.В. (2012). Теорія кілець: навчальний посібник (PDF). Київ: РВЦ “Київський університет„. с. 64. (укр.)
• Главных идеалов кольцо. Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 1. Советская энциклопедия, 1984.
• Джекобсон Н., Теория колец, пер. с англ., М., 1947;