Скінченнопороджена абелева група

У абстрактній алгебрі абелева група називається скінченнопородженою, якщо існує скінченна множина , така що існує представлення:

де цілі числа. В такому випадку кажуть, що породжує групу або що породжують .

Очевидно, кожна скінченна абелева група є скінченнопородженою. Скінченнопороджені абелеві групи мають порівняно просту структуру і можуть бути повністю класифіковані.

ПрикладиРедагувати

  • Цілі числа   є скінченнопородженою абелевою групою.
  • Числа по модулю   є скінченнопородженою абелевою групою.
  • Будь-який прямий добуток скінченного числа скінченнопороджених абелевих груп також є скінченнопородженою абелевою групою.

Група   раціональних чисел не є скінченнопородженою: якщо  , візьмемо натуральне число  , взаємно просте зі всіма їх знаменниками; тоді   не може бути породжено  .

КласифікаціяРедагувати

Теорема про класифікацію скінченнопороджених абелевих груп стверджує, що будь-яка скінченнопороджена абелева група   ізоморфна прямому добутку простих циклічних груп і нескінченних циклічних груп, де проста циклічна група - це така циклічна група, порядок якої є степенем простого числа. Тобто кожна така група ізоморфна групі вигляду

 

де  , і числа   є степенями (не обов'язково різних) простих чисел. Значення   однозначно визначені (з точністю до порядку) групою  , зокрема   скінченна тоді і тільки тоді, коли  .

На підставі того факту що   буде ізоморфна добутку   і   тоді і тільки тоді, коли   і   взаємно прості і  , ми також можемо представити будь-яку скінченнопороджену групу   у вигляді прямого добутку:

 

де   ділить  , що ділить   і так далі до  . І знову, числа   і   однозначно задані групою  .

ДоведенняРедагувати

ІснуванняРедагувати

Позначимо n = m + u і доводитимемо другий варіант твердження. Нехай дана абелева група G із скінченним числом твірних. Група G є ізоморфною факторгрупі деякої вільної абелевої групи An по деякій її підгрупі V. З властивостей вільних абелевих груп випливає, що можна вибрати такий базис   групи An, що базис вільної абелевої групи V матиме вигляд   де   ділиться на   для всіх   Завдяки такому вибору базисів елемент

 

з групи An тоді і тільки тоді міститиметься в підгрупі V якщо коефіцієнти   діляться на   а коефіцієнти   рівні нулю. Дійсно, якщо коефіцієнти   задовольняють цим умовам, то елемент x може бути записаний базис  . Навпаки, якщо

 

то, очевидно, всі зазначені умови виконуються.

У факторгрупі An/V елемент xi + V має при   порядок mi, а при i > r нескінченний порядок. Циклічні підгрупи всіх цих елементів дають в сумі всю факторгрупу, причому, складають пряму суму — всякий елемент з An/V однозначно записується у вигляді суми елементів з циклічних підгруп xi + V. Звичайно, якщо декілька перших з чисел m1, m2, ... рівні 1, то відповідні прямі доданки x1 + V, x2 + V{ и2 + V), ... повинні бути виключені. Зважаючи на ізоморфізм групи G з факторгрупою чинника An/V теорема доведена не тільки для An/V, але і для G.

ЄдиністьРедагувати

Щоб довести єдиність такого, припустимо, що ми маємо другий такий розклад. Доведемо спершу, що n = n' Припустимо, що n > n' і pпросте число, що ділить m1. Використання початковий розклад, існує очевидний епіморфізм з G у n-вимірний векторний простір над  ; цей простір повинен породжуватися образами x'i — базисних елементів з другого розкладу. Але це неможливо, тому що множина яку вони породжують містить щонайбільше pn' < pn елементів.

Для натурального числа m > 0 розглянемо групу mG, що складається з усіх mx де  . Розклад для цієї групи одержиться з розкладу для G заміною xi на mxi і mxi на  , де GCD(m, m_i)найбільший спільний дільник. Якщо mi ділить m, то даний коефіцієнт рівний одиниці і відповідний елемент mxi повинен бути видалений. Отже mi однозначно визначаються властивістю, що mi є найменше натуральне число для якого канонічне представлення mG використань щонайбільше n - i твірних.

ЛітератураРедагувати