Циклічна група — це група, яка може бути породжена одним із своїх елементів. Тобто всі елементи групи є степенями даного елемента (або, використовуючи термінологію адитивних груп, всі елементи групи рівні , де ).

Формально, для мультиплікативних груп:

для адитивних:

ПрикладиРедагувати

  • Група   цілих чисел з операцією додавання. Дана група є прикладом нескінченної циклічної групи.
  • Група   цілих чисел за модулем   з операцією додавання. Дана група є прикладом скінченної циклічної групи.
  • Група коренів з  -го степеня з   (в множині комплексних чисел) з операцією множення.

ВластивостіРедагувати

Це випливає з асоціативності групи.
  • Кожна скінченна циклічна група ізоморфна групі  , а кожна нескінченна циклічна група ізоморфна групі  .
Справді, для нескінченної групи можна взяти як ізоморфізм відображення, що переводить   в  .
Для скінченної групи порядку n використовуємо аналогічне відображення і враховуємо, що   та  
  • У нескінченної циклічної групи є два твірні елементи:   та  ; для скінченної групи порядку   їх кількість рівна функції Ейлера   тобто кількості чисел менших від   і взаємно простих з  .
Для скінченної циклічної групи елемент   є твірним тоді й лише тоді коли він взаємно простий з  . Тоді існують   для яких виконується   тобто  . Відповідно   і так для всіх елементів.
Навпаки якщо   то   ділиться на   тобто рівне   для деякого цілого  . Тоді  ? що можливо лише для взаємно простих чисел.
Є наслідком теореми Лагранжа.
  • Якщо група не має власних підгруп то вона циклічна і її порядок просте число.

Теорема про підгрупи циклічної групиРедагувати

Ключовим результатом для циклічних груп є наступна теорема:

Кожна підгрупа циклічної групи є циклічною.

ДоведенняРедагувати

Нехай   — циклічна група і   — її підгрупа. Вважатимемо, що   і   не є тривіальними (тобто мають більше одного елемента).

Нехай   — твірний елемент групи  , а   — найменше додатне ціле число, таке що  . Твердження:  

 

 
 
Відповідно,  .
 
Нехай  .
 .
Згідно з алгоритмом ділення  
 .
 .
Зважаючи на вибір   і те, що  , одержуємо  .
 .
Відповідно,  .

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати