Відкрити головне меню

Циклічна група — це група, яка може бути породжена одним із своїх елементів. Тобто всі елементи групи є степенями даного елемента (або, використовуючи термінологію адитивних груп, всі елементи групи рівні ng, де ).

Формально, для мультиплікативних груп:

для адитивних:

Зміст

ПрикладиРедагувати

  • Група   цілих чисел з операцією додавання. Дана група є прикладом нескінченної циклічної групи.
  • Група   цілих чисел за модулем n з операцією додавання. Дана група є прикладом скінченної циклічної групи.
  • Група коренів з n-го степеня з 1 (в множині комплексних чисел) з операцією множення.

ВластивостіРедагувати

Це випливає з асоціативності групи.
  • Кожна скінченна циклічна група ізоморфна групі  , а кожна нескінченна циклічна група ізоморфна групі  .
Справді, для нескінченної групи можна взяти як ізоморфізм відображення, що переводить   в  
Для скінченної групи порядку n використовуємо аналогічне відображення і враховуємо, що   та  
  • У нескінченної циклічної групи є два твірні елементи: 1 та -1; для скінченної групи порядку n їх кількість рівна функції Ейлера   тобто кількості чисел менших від n і взаємно простих з n.
Для скінченної циклічної групи елемент k є твірним тоді й лише тоді коли він взаємно простий з n. Тоді існують   для яких виконується   тобто   Відповідно   і так для всіх елементів.
Навпаки якщо   то ak-1 ділиться на n тобто рівне nb для деякого цілого b. Тоді ak-bn=1? що можливо лише для взаємно простих чисел.
Є наслідком теореми Лагранжа.
  • Якщо група не має власних підгруп то вона циклічна і її порядок просте число.

Теорема про підгрупи циклічної групиРедагувати

Ключовим результатом для циклічних груп є наступна теорема:

Кожна підгрупа циклічної групи є циклічною.

ДоведенняРедагувати

Нехай   — циклічна група і   — її підгрупа. Вважатимемо, що   і   не є тривіальними (тобто мають більше одного елемента).

Нехай   — твірний елемент групи  , а   — найменше додатне ціле число, таке що  . Твердження:  

 

 
 
Відповідно,  .
  
Нехай  .
 .
Згідно з алгоритмом ділення  
 .
 .
Зважаючи на вибір   і те, що  , одержуємо  .
 .
Відповідно,  .

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати