Функція Ейлера , де  — натуральне число, — це цілочисельна функція, яка показує кількість натуральних чисел, що не є більшими за і взаємно простих з ним.[[#cite_note-FOOTNOTERibenboim199634'"`UNIQ--templatestyles-00000004-QINU`"'<span_title="англійською_мовою_"_class="ref-info">(англ.)</span>-1|[1]]]

Перша тисяча значень

Функцію Ейлера можна подати у вигляді так званого добутку Ейлера:

де  — просте число.

Функція Ейлера широко застосовується в теорії чисел та криптографії. Зокрема відіграє значну роль у визначенні алгоритма шифрування RSA.

Деякі значення функції

ред.
  +0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9
0+   1 1 2 2 4 2 6 4 6
10+ 4 10 4 12 6 8 8 16 6 18
20+ 8 12 10 22 8 20 12 18 12 28
30+ 8 30 16 20 16 24 12 36 18 24
40+ 16 40 12 42 20 24 22 46 16 42
50+ 20 32 24 52 18 40 24 36 28 58
60+ 16 60 30 36 32 48 20 66 32 44
70+ 24 70 24 72 36 40 36 60 24 78
80+ 32 54 40 82 24 64 42 56 40 88
90+ 24 72 44 60 46 72 32 96 42 60

Властивості

ред.
  1.  , якщо   — просте число;[[#cite_note-FOOTNOTEСагалович200735—36Вычисление_функции_Эйлера'"`UNIQ--templatestyles-0000000C-QINU`"'<span_title="російською_мовою_"_class="ref-info">(рос.)</span>-2|[2]]]
  2.  , якщо   і   взаємно прості. Тобто Функція Ейлера мультиплікативна;[[#cite_note-FOOTNOTEBurton2007133Theorem_7.2'"`UNIQ--templatestyles-00000004-QINU`"'<span_title="англійською_мовою_"_class="ref-info">(англ.)</span>-3|[3]]]
  3.  , якщо   і   взаємно прості. Докладніше: Теорема Ейлера.[[#cite_note-FOOTNOTEЧандрасекхаран._Введение_в_аналитическую_теорию_чисел,_1974_'"`UNIQ--templatestyles-0000000C-QINU`"'<span_title="російською_мовою_"_class="ref-info">(рос.)</span>-4|[4]]]
  4.  
  5.  ,  ,  , якщо  найменше спільне кратне, a  найбільший спільний дільник.

Асимптотичні відношення

ред.
  1.   де   — деяка константа;
  2.  
  3.  
  4.  

Комп'ютерна реалізація

ред.

Див. також

ред.

Примітки

ред.
  1. [[#cite_ref-FOOTNOTERibenboim199634'"`UNIQ--templatestyles-00000004-QINU`"'<span_title="англійською_мовою_"_class="ref-info">(англ.)</span>_1-0|↑]] Ribenboim, 1996, с. 34(англ.).
  2. [[#cite_ref-FOOTNOTEСагалович200735—36Вычисление_функции_Эйлера'"`UNIQ--templatestyles-0000000C-QINU`"'<span_title="російською_мовою_"_class="ref-info">(рос.)</span>_2-0|↑]] Сагалович, 2007, с. 35—36, Вычисление функции Эйлера(рос.).
  3. [[#cite_ref-FOOTNOTEBurton2007133Theorem_7.2'"`UNIQ--templatestyles-00000004-QINU`"'<span_title="англійською_мовою_"_class="ref-info">(англ.)</span>_3-0|↑]] Burton, 2007, с. 133, Theorem 7.2(англ.).
  4. [[#cite_ref-FOOTNOTEЧандрасекхаран._Введение_в_аналитическую_теорию_чисел,_1974_'"`UNIQ--templatestyles-0000000C-QINU`"'<span_title="російською_мовою_"_class="ref-info">(рос.)</span>_4-0|↑]] Чандрасекхаран. Введение в аналитическую теорию чисел, 1974 (рос.).

Посилання

ред.