Теорема Лагранжа (теорія груп)

Теорема Лагранжа – твердження в теорії груп згідно з яким кількість елементів будь-якої підгрупи скінченної групи ділить кількість елементів самої групи.

Точніше можна записати

$|G|=|G:H|\cdot |H|$,

де $|G:H|$ позначає індекс групи $G$ по підгрупі $H$,тобто кількість класів суміжності $H$ в $G$, а $|G|$, $|H|$ позначають порядок групи і підгрупи, тобто кількість їх елементів.

Доведення

Нехай $G$ є скінченною групою. Розглянемо множину лівосторонніх класів суміжності $\{gH\colon g\in G\}$ групи $G$ щодо $H$. Ця множина розбиває групу $G$ на $n=|G:H|$ рівнопотужних множин: $g_{1}H,g_{2}H,\dots ,g_{n}H$.

Тобто

$G=g_{1}H\cup g_{2}H\cup \dots \cup g_{n}H$,

і враховуючи відсутність перетину цих множин:

$|G|=|g_{1}H|+|g_{2}H|+\dots +|g_{n}H|$,

і враховуючи їх рівнопотужність з $H$, остаточно отримуємо

$|G|=|H|+|H|+\dots +|H|=n|H|$,

тобто:

$|G|=|G:H|\cdot |H|$.

Наслідки

1. Кількість правих і лівих суміжних класів будь-якої підгрупи $H$ в $G$ однакова і називається індексом підгрупи $H$ в $G$ (позначається $[G:H]$).
2. Порядок будь-якої підгрупи скінченної групи $G$ є дільником порядку $G$.
3. Із того, що порядок елемента групи дорівнює порядку циклічної підгрупи, яку створює цей елемент, слідує, що порядок будь-якого елемента скінченної групи $G$ є дільником $G$. Цей наслідок узагальнює теорему Ейлера і малу теорему Ферма в теорії чисел.
4. Група порядку $p$, де $p$ - просте число, циклічна. (Оскільки порядок елемента, відмінного від одиниці, не може дорівнювати $1$, всі елементи, крім одиниці, мають порядок $p$, а отже, кожен з них породжує групу.)

Узагальнення

Теорема Лагранжа допускає наступне просте узагальнення:

нехай $G$ є скінченною групою і маємо $K\leqslant H\leqslant G$, тоді

$|G:H|\cdot |H:K|=|G:K|$.

Доведення

З теореми Лагранжа випливає:

$|G:H|\cdot |H|=|G|=|G:K|\cdot |K|$ і також

$|H:K|\cdot |K|=|H|$,

звідки

$|G:H|\cdot |H:K|={\frac {|G|}{|H|}}\cdot {\frac {|H|}{|K|}}={\frac {|G:K|\cdot |K|}{|K|}}=|G:K|$.

Джерела

Українською

• (укр.) Гаврилків В. М. Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф.  : Голіней, 2023. — 153 с.

Іншими мовами

• Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рос.)
• Джозеф Ротман. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — ISBN 978-0387942858.(англ.)