Теорема Лагранжа (теорія груп)

Теорема Лагранжа – твердження в теорії груп згідно з яким кількість елементів будь-якої підгрупи скінченної групи ділить кількість елементів самої групи.

Точніше можна записати

,

де позначає індекс групи по підгрупі ,тобто кількість класів суміжності в , а позначають порядок групи і підгрупи, тобто кількість їх елементів.

ДоведенняРедагувати

Нехай   є скінченною групою. Розглянемо множину лівосторонніх класів суміжності   групи   щодо  . Ця множина розбиває групу   на   рівнопотужних множин:  .

Тобто

 ,

і враховуючи відсутність перетину цих множин:

 ,

і враховуючи їх рівнопотужність з  , остаточно отримуємо

 ,

тобто:

 .

НаслідкиРедагувати

  1. Кількість правих і лівих суміжних класів будь-якої підгрупи   в   однакова і називається індексом підгрупи   в   (позначається  ).
  2. Порядок будь-якої підгрупи скінченної групи   є дільником порядку  .
  3. Із того, що порядок елемента групи дорівнює порядку циклічної підгрупи, яку створює цей елемент, слідує, що порядок будь-якого елемента скінченної групи   є дільником  . Цей наслідок узагальнює теорему Ейлера і малу теорему Ферма в теорії чисел.
  4. Група порядку  , де   - просте число, циклічна. (Оскільки порядок елемента, відмінного від одиниці, не може дорівнювати 1, всі елементи, крім одиниці, мають порядок  , а отже, кожен з них породжує групу.)

УзагальненняРедагувати

Теорема Лагранжа допускає наступне просте узагальнення:

нехай   є скінченною групою і маємо  , тоді

 .

ДоведенняРедагувати

З теореми Лагранжа випливає:

  і також
 ,
звідки
 .

ЛітератураРедагувати