Теорема Лагранжа (теорія груп)

Теорема Лагранжа — твердження в теорії груп згідно з яким кількість елементів будь-якої підгрупи скінченної групи ділить кількість елементів самої групи.

Точніше можна записати

,

де позначає індекс групи по підгрупі ,тобто кількість класів суміжності в , а , позначають порядок групи і підгрупи, тобто кількість їх елементів.

Доведення

ред.

Нехай   є скінченною групою. Розглянемо множину лівосторонніх класів суміжності   групи   щодо  . Ця множина розбиває групу   на   рівнопотужних множин:  .

Тобто

 ,

і враховуючи відсутність перетину цих множин:

 ,

і враховуючи їх рівнопотужність з  , остаточно отримуємо

 ,

тобто:

 .

Наслідки

ред.
  1. Кількість правих і лівих суміжних класів будь-якої підгрупи   в   однакова і називається індексом підгрупи   в   (позначається  ).[1]
  2. Порядок будь-якої підгрупи скінченної групи   є дільником порядку  [2]
  3. Із того, що порядок елемента групи дорівнює порядку циклічної підгрупи, яку створює цей елемент, слідує, що порядок будь-якого елемента скінченної групи   є дільником  . Цей наслідок узагальнює теорему Ейлера і малу теорему Ферма в теорії чисел.
  4. Група порядку  , де   — просте число, циклічна. (Оскільки порядок елемента, відмінного від одиниці, не може дорівнювати  , всі елементи, крім одиниці, мають порядок  , а отже, кожен з них породжує групу.)[3]

Узагальнення

ред.

Теорема Лагранжа допускає наступне просте узагальнення: нехай   є скінченною групою і маємо  , тоді

 .

Доведення

ред.

З теореми Лагранжа випливає:

  і також
 ,
звідки
 .

Примітки

ред.

Джерела

ред.

Українською

ред.


Іншими мовами

ред.