Порядок групи

Порядок групи — потужність носія групи, тобто, для скінченних груп — кількість елементів групи. Позначається $|G|$ або $\mathbf {Ord(G)}$.

Для скінченних груп зв'язок між порядком групи та її підгрупи встановлює теорема Лагранжа: порядок групи $G$ дорівнює порядку будь-якої її підгрупи $H\subseteq G$, помноженому на її індекс — кількість її лівих чи правих класів суміжності:

$|G|=|H|\cdot [G:H]$.

Важливим результатом про порядки груп є рівняння класу, що пов'язує порядок скінченної групи $G$ з порядком її центра $\mathrm {Z} (G)$ і розмірами її нетривіальних класів спряженості:

$|G|=|Z(G)|+\sum _{i}d_{i}$,

де $d_{i}$ — розміри нетривіальних класів спряженості. Наприклад, центр симетричної групи $S_{3}$ — просто тривіальна група з одного нейтрального елемента $e$, і рівняння перетворюється на $|S_{3}|=1+2+3$.

Порядок елементів скінченних груп ділить її груповий порядок. З теоретико-групової теореми Коші випливає, що порядок групи $G$ є степенем цілого простого числа $p$ тоді й лише тоді, коли порядок будь-якого з її елементів є деяким степенем $p$.

Література

• (укр.) Гаврилків В. М. Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф.  : Голіней, 2023. — 153 с.
• Мельников О. В., Ремесленников В. Н., Романьков В. А. Глава II. Группы // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М. : Наука, 1990. — Т. 1. — С. 66—290. — (Справочная математическая библиотека) — 30000 прим. — ISBN ISBN 5-02-014426-6.