В абстрактній алгебрі центром групи G (позначається Z(G)) називають множину елементів, що комутують з усіма елементами групи G, тобто:

.

Очевидно, що група буде абелевою(комутативною) тоді і тільки тоді, коли Z(G) = G. З іншої сторони, якщо центр групи містить лишень нейтральний елемент, то група називається групою без центру.

ВластивостіРедагувати

Нейтральний елемент належить центру,   оскільки  ;
Добуток двох елементів з центра належить центру. Якщо   тоді  , отже  ;
Обернений до елемента центра належить центру. Якщо   то gx = xg. Домноживши обидві сторони рівності зліва і справа на x-1 одержимо x−1g = gx−1, звідки  
Дійсно функцію f: G → Aut(G) можна задати наступним чином: f(g) = φg. Очевидно, що дане відображення є гомоморфізмом груп. Якщо   то   тобто центр групи є підмножиною ядра гомоморфізму. З іншого боку елементи групи, що не належать центру не є ядром оскільки тоді   що   тобто образом відображення не є одиничний автоморфізм. Остаточно з теореми про ізоморфізм груп маємо:
 
  • Якщо факторгрупа   циклічна, то G  — абелева.
Дійсно, згідно з означенням циклічної групи маємо, що для деякого   виконується рівність   тому   Зважаючи, що група   є абелева маємо, що будь-які елементи групи G комутують.

ПрикладиРедагувати

  • Центром групи квадратних матриць розміру n над полем F з ненульовим визначником є множина скалярних матриць:  
  • Групи перестановок (симетричні групи) Sn для n ≥ 3 є групами без центру.
  • Групи парних перестановок (знакозмінні групи) An для n ≥ 4 є групами без центру.
  • Прості неабелеві групи є групами без центру.
Дійсно за означенням єдиними нормальними підгрупами даних груп є тривіальні групи і самі ці групи. Зважаючи, що центр є нормальною підгрупою і група некомутативна маємо, що центр рівний тривіальній групі.

Центри вищих порядківРедагувати

Визначимо послідовність підгруп:

 

Ядро відображення   називається i-тим центром групи G і позначається  . Послідовність:

 

стабілізується ( )тоді й лише тоді коли   є групою без центру.

ЛітератураРедагувати