Фактор-група

Фактор-група — в теорії груп, група класів еквівалентності відносно деякого відношення еквівалентності. Тобто, фактор-множина, що має властивості групи.

Визначення

Нехай $G$ — група, і $H$ — її нормальна підгрупа, тобто для довільного $a\in G$ його класи суміжності збігаються:

$\ aH=Ha$

Тоді на класах суміжності $H$ в $G$ можна ввести множення:

$\ (aH)(bH)=abH$

Легко перевірити, що це множення не залежить від вибору елементів у класах суміжності, тобто якщо $aH=a'H$ і $bH=b'H$, то $abH=a'b'H$. Воно визначає структуру групи на множині класів суміжності, а одержана група називається фактор-групою $G$ по $H$.

Фактор-група позначається $G/H$.

Властивості

• Теорема про гомоморфізм: Для довільного гомоморфізму $\varphi :G\to K$

$G/{\mathrm {K} er}\,\varphi \cong \varphi (G)$,

тобто фактор-група $G$ за ядром ${\mathrm {K} er}\varphi$ ізоморфна її образу $\varphi (G)$ в $K$.

• Відображення $a\mapsto aH$ задає природний гомоморфізм $G\to G/H$.
• Порядок $G/H$ рівний індексу підгрупи $[G:H]$. У випадку скінченної групи $G$ він рівний $|G|/|H|$.
• Якщо $G$ абелева, нільпотентна, циклічна або скінченнопороджена, то і $G/H$ буде мати такі ж властивості.
• $G/G$ ізоморфна тривіальній групі ($\{e\}$), $G/{e}$ ізоморфна $G$.

Приклади

• Нехай $G=\mathbb {Z} ,\;H=2\mathbb {Z}$, тоді $G/H$ ізоморфна $\mathbb {Z} _{2}$.
• Нехай $G=\mathbf {UT} _{n}$ група невироджених верхньотрикутних матриць, $H=\mathbf {SUT} _{n}$ група верхніх унітрикутних матриць, тоді $G/H$ ізоморфна групі діагональних матриць.

Див. також

• Теорема про гомоморфізми
• Теореми про ізоморфізми
• Фактор-кільце
• Фактор-простір

Література

Українською

• (укр.) Гаврилків В. М. Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф.  : Голіней, 2023. — 153 с.

Іншими мовами

• Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рос.)
• Винберг Э. Б. Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — ISBN 978-5-94057-685-3.(рос.)

• Джозеф Ротман. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — ISBN 978-0387942858.(англ.)