Фактор-група[1] — в теорії груп, група класів еквівалентності відносно деякого відношення еквівалентності. Тобто, фактор-множина, що має властивості групи.

ВизначенняРедагувати

Нехай   — група, і   — її нормальна підгрупа, тобто для довільного   його класи суміжності збігаються:

 

Тоді на класах суміжності   в   можна ввести множення:

 

Легко перевірити, що це множення не залежить від вибору елементів у класах суміжності, тобто якщо   і  , то  . Воно визначає структуру групи на множині класів суміжності, а одержана група називається фактор-групою   по  .

Фактор-група позначається  .

ВластивостіРедагувати

  • Теорема про гомоморфізм: Для довільного гомоморфізму  
 ,
тобто фактор-група   за ядром   ізоморфна її образу   в  .
  • Відображення   задає природний гомоморфізм  .
  • Порядок   рівний індексу підгрупи  . У випадку скінченної групи   він рівний  .
  • Якщо   абелева, нільпотентна, циклічна або скінченнопороджена, то і   буде мати такі ж властивості.
  •   ізоморфна тривіальній групі ( ),   ізоморфна  .

ПрикладиРедагувати

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати


  1. Термін у словниках