Теореми про ізоморфізми

Теореми про ізоморфізми — це три теореми в абстрактній алгебрі, що описують зв'язок між гомоморфізмами, фактор-множинами і під-об'єктами.

Існують версії цих теорем для груп, кілець, модулів, векторних просторів, алгебр Лі та інших алгебраїчних структур. В універсальній алгебрі ці теореми узагальнюються через алгебри довільної сигнатури і конгруенції.

ГрупиРедагувати

Перша теоремаРедагувати

Якщо   гомоморфізм груп, тоді:

  1. Ядро   є нормальною підгрупою в  ;
  2. Образ   є підгрупою в  ;
  3. Образ   є ізоморфним до фактор-групи  .

Друга теоремаРедагувати

Якщо   — група,   — підгрупа в  ,   — нормальна підгрупа в  , тоді:

  1. Добуток   є підгрупою в  ;
  2. Перетин   є нормальною підгрупою в  ;
  3. Фактор-групи   та   є ізоморфними.

Третя теоремаРедагувати

Якщо   — група,  ,   — нормальні підгрупи в  , такі що  , тоді:

  1.   є нормальною підгрупою в  ;
  2. Фактор-група   ізоморфна до  .

КільцяРедагувати

Зміст теорем для кілець є подібним, але поняття нормальної підгрупи замінюється на ідеалом кільця.

Перша теоремаРедагувати

Якщо   гомоморфізм кілець, тоді:

  1. Ядро   є ідеалом в  ;
  2. Образ   є підкільцем в  ;
  3. Образ   є ізоморфним до фактор-кільця  .

Друга теоремаРедагувати

Якщо   — кільце,   — підкільце в  ,   — ідеал в  , тоді:

  1. Сума   є підкільцем в  ;
  2. Перетин   є ідеалом в  ;
  3. Фактор-кільця   та   є ізоморфними.

Третя теоремаРедагувати

Якщо   — кільце,  ,   — ідеали  , такі що  , тоді:

  1.   є ідеалом в  ;
  2. Фактор-кільце   ізоморфно до  .

МодуліРедагувати

Теореми про ізоморфізм для векторних просторів та абелевих груп є частковим випадком теорем для модулів. Для векторних просторів детальніше див. Ядро та образ лінійного оператора.

Перша теоремаРедагувати

Якщо   гомоморфізм модулів, тоді:

  1. Ядро   є підмодулем в  ;
  2. Образ   є підмодулем в  ;
  3. Образ   є ізоморфним до фактор-модуля  .

Друга теоремаРедагувати

Якщо   — модуль,  ,   — підмодулі в  , тоді:

  1. Сума   є підмодулем в  ;
  2. Перетин   є підмодулем в  ;
  3. Фактор-модулі   та   є ізоморфними.

Третя теоремаРедагувати

Якщо   — модуль,  ,   — підмодулі в  , такі що  , тоді:

  1.   є підмодулем в  ;
  2. Фактор-множина   ізоморфна до  .

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати