Відкрити головне меню

Клас суміжності групи

В теорії груп класом суміжності групи називається деяка множина, що визначається за допомогою деякого елемента даної групи і деякої її підгрупи. Розрізняють лівосторонні класи суміжності і правосторонні класи суміжності. Кількості лівосторонніх і правосторонніх класів суміжності рівні між собою і називаються індексом підгрупи.

ОзначенняРедагувати

Нехай   — деяка група,   — її підгрупа. Множину

  називають лівостороннім класом суміжності по підгрупі   для елемента  ,
  називають правостороннім класом суміжності по підгрупі   для елемента  .

ПрикладРедагувати

Нехай G буде адитивною групою цілих Z = {…, −2, −1, 0, 1, 2, …} і H підгрупа mZ = {…, −2m, −m, 0, m, 2m, …}, де m — це додатне ціле. Тоді класи суміжності H в G — це m множин mZ, mZ+1, … mZ+(m−1), де mZ+a={…, −2m+a, −m+a, a, m+a, 2m+a, …}. Існує не більше ніж m класів суміжності, бо mZ+m=m(Z+1)=mZ. Клас суміжності mZ+a це клас рівності до a за модулем m.[1]

ВластивостіРедагувати

Справді оскільки   то також   З іншої сторони рівняння   де   завжди має розв'язок  
  • Якщо :  то тоді  
Справді нехай   Тоді:
  де остання рівність випливає з попередньої властивості.
  • Якщо:   тоді  
Припустимо   Тоді:
  і оскільки   то також  ;
З попередніх властивостей бачимо, що лівосторонні класи суміжностей утворюють розбиття групи і таким чином можна задати відношення еквівалентності:
  якщо  
  •  : 

Справді маємо   звідки:

  і  
  • Еквівалентні твердження з відповідними модифікаціями справедливі і для правосторонніх класів суміжності.
  • Потужності всіх правосторонніх і лівосторонніх класів суміжності рівні порядку групиH.

Дане твердження встановлюється за допомогою двох бієкцій:

  •  
     
  • Кількості правих і лівих класів суміжності (індекс підгрупи, позначається  ) рівні між собою і виконується рівність:
 . (теорема Лагранжа).

ПриміткиРедагувати

  1. Joshi p. 323
  • Joshi, K. D. (1989). §5.2 Cosets of Subgroups. Foundations of Discrete Mathematics. New Age International. с. 322 ff. ISBN 81-224-0120-1. 

Дивись такожРедагувати

ЛітератураРедагувати