Відкрити головне меню

Подільність — фундаментальна властивість натуральних та цілих чисел. Число ділиться на , відповідно, число є дільником якщо частка  — ціле число. Будь-яке натуральне число ділиться на одиницю і на себе. Якщо дане число не має інших дільників, то таке число називається простим, в іншому разі — складеним. Властивості простих чисел і питання подільності займали думки науковців і філософів протягом двох з половиною тисячолітть, принаймні з часів Піфагора, і ще досі не вичерпали себе. Завдяки розвитку криптографії і розповсюдженню заснованних на теорії чисел алгоритмів, пов'язані з перевіркою на простоту і факторизацією дослідження знаходяться на передовому краю математики.

ІсторіяРедагувати

Питання подільності натуральних чисел розглядалися уже в античні часи. Евкліду належить один з найвідоміших результатів математики, твердження, що не існує найбільшого простого числа, тобто множина простих чисел — нескінченна. Він також навів найперший в історії алгоритм, а саме алгоритм Евкліда знаходження найбільшого спільного дільника двох натуральних чисел. Цікаво відзначити, що це — не тільки найдавніший, а й один з найефективніших алгоритмів в математиці, який майже не був вдосконалений за більш ніж дві тисячі років, що минули по тому. Але набагато раніше за Евкліда, Піфагор і піфагорейці розробили теорію досконалих і дружніх чисел, які відігравали важливу роль у їх філософській системі.

Подільність чисел, загальніших ніж цілі, було ретельно досліджено у 19 ст., починаючи з роботи Гауса про властивості гаусових цілих чисел, комплексних чисел вигляду   де   — це звичайні цілі числа, а   — це уявна одиниця. Гаус відкрив аналог алгоритму Евкліда і в такий спосіб довів однозначність факторизації гаусових цілих чисел. Чимало із спроб доведення великої теореми Ферма спиралося на однозначність факторизації алгебраїчних цілих чисел вигляду

 

де   — це примітивний корінь з одиниці степені  , a   — цілі числа. Однак виявилося, що у випадку загального   такі числа поводяться набагато складніше, ніж звичайні цілі, зокрема, для них не виконується однозначність факторизації на прості множники. У роботах Куммера, Кронекера і Дедекінда з теорії подільності алгебраїчних цілих чисел з'явились фундаментальні для сучасної математики поняття теорії кілець, на яких, разом з введеним Галуа поняттям групи, ґрунтується сучасна абстрактна алгебра.

Пов'язані визначенняРедагувати

  • Одиниця має рівно один дільник і не є ні простою, ні складеною.
  • У кожного натурального числа, більшого за одиницю, є хоча б один простий дільник.
  • Власним дільником числа називається всякий його дільник, відмінний від самого числа. У простих чисел існує лише один власний дільник — одиниця.
  • Незалежно від подільності цілого числа   на ціле число  , число a завжди можна розділити на b із залишком, тобто представити у вигляді:
      де  .
У цьому співвідношенні число   називається неповною часткою, а число r — остачею від ділення   на  . Як частка, так і остача визначаються однозначно.
Число a ділиться без остачі на b тоді та лише тоді, коли залишок від ділення a на b дорівнює нулю.
  • Всяке число, яке ділить як  , так і  , називається їх спільним дільником; максимальне з таких чисел називається найбільшим спільним дільником. У будь-якої пари цілих чисел є принаймні два загальних подільника: +1 та −1. Якщо інших спільних дільників немає, то ці числа називають взаємно простими числами.
  • Два цілих числа   і   називають одноподільніними на ціле число  , якщо або і  , і   ділиться на  , або ні  , ні   не діляться на нього.

ПозначенняРедагувати

  •   означає, що   ділиться на  , або що число   кратне числу  .
  •   або   означає, що   ділить  , або, що теж cаме:   — дільник  .

ВластивостіРедагувати

Зауваження: у всіх формулах цього розділу передбачається, що   — цілі числа.
  • Будь-яке ціле число є дільником нуля, при цьому чаcтка дорівнює нулю :
 
  • Будь-яке ціле число ділиться на одиницю:
 
  • На нуль ділиться лише нуль:
 ,

причому частка в цьому випадку не визначена.

  • Одиниця ділиться націло лише на одиницю:
 
  • Для будь-якого цілого числа   знайдеться таке ціле число   для якого  
  • Якщо   та   то   Звідси ж випливає, що якщо   і   то  
  • Для того щоб   необхідно і достатньо, щоб  
  • Якщо   то  
  • Властивість подільності є відношенням не суворого порядку і, зокрема, воно:
    • рефлексивне, тобто будь-яке ціле число ділиться само на себе:  
    • транзитивне, тобто якщо   і   то  
    • антисиметричне, тобто якщо   і   то або   або  

ПрикладиРедагувати

  • 7 є дільник 42 оскільки  , тому ми можемо сказати,  . Крім того, можна сказати, що 42 ділиться на 7, 7 ділить 42.
  • Нетривіальними дільниками 6 є 2, −2, 3, й −3.
  • Додатними дільниками 42 є 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
  •  , оскільки  .
  • Множиною всіх додатних дільників 60 є,  , частково впорядкована множина, якій відповідає діаграма Гассе:

Кількість дільниківРедагувати

Докладніше: Функція дільників

Число додатних дільників натурального числа   зазвичай позначають  , є мультиплікативною функцією, для неї є вірною асимптотична формула Діріхле:

 

в якій   — стала Ейлера—Маскероні, а для   Діріхле отримав значення   Цей результат багаторазово поліпшувався, і останнім часом найкращий відомий результат   (отримано у 2003 р. Хакслі). Однак, найменше значення  , при якому ця формула залишиться вірною, невідоме (доведено, що воно не менше, ніж  ).[1][2][3]

При цьому середній дільник великого числа n в середньому росте як  , що було виявлено А. Карацубою.[4]. З комп'ютерних оцінок М. Корольова .

УзагальненняРедагувати

Поняття подільності узагальнюється на довільні кільця, наприклад кільце многочленів.

Див. такожРедагувати

ПриміткиРедагувати

  1. А. А. Бухштаб. Теорія чисел. — М. : Просвіта, 1966.
  2. Аналітична теорія чисел
  3. Weisstein, Eric W. Dirichlet Divisor Problem(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  4. В. І. Арнольд. Динаміка, статистика та проективна геометрія полів Галуа. — М. : МЦНМО, 2005. — С. 70.