У теорії чисел , мультиплікативна функція — арифметична функція
f
(
m
)
{\displaystyle f(m)}
f
(
m
1
m
2
)
=
f
(
m
1
)
f
(
m
2
)
{\displaystyle f(m_{1}m_{2})=f(m_{1})f(m_{2})}
взаємно простих чисел
m
1
{\displaystyle m_{1}}
m
2
{\displaystyle m_{2}}
f
(
1
)
=
1
{\displaystyle f(1)=1}
При виконанні першої умови, вимога
f
(
1
)
=
1
{\displaystyle f(1)=1}
f
(
m
)
{\displaystyle f(m)}
Слід зазначити, що поза теорією чисел під мультиплікативною функцією розуміють будь-яку функцію
f
{\displaystyle f}
множині
X
{\displaystyle X}
f
(
x
1
x
2
)
=
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
{\displaystyle f(x_{1}x_{2})=f(x_{1})f(x_{2})}
для довільних
x
1
,
x
2
∈
X
{\displaystyle x_{1},x_{2}\in X}
У теорії чисел такі функції, тобто функції
f
(
m
)
{\displaystyle f(m)}
всіх натуральних
m
1
,
m
2
{\displaystyle m_{1},m_{2}}
цілком мультиплікативними .
Мультиплікативна функція називається сильно мультиплікативною , якщо
f
(
p
α
)
=
f
(
p
)
{\displaystyle f(p^{\alpha })=f(p)}
для всіх простих
p
{\displaystyle p}
натуральних
α
{\displaystyle \alpha }
Функція
τ
(
m
)
{\displaystyle \tau (m)}
дільників натурального
m
{\displaystyle m}
Функція
σ
(
m
)
{\displaystyle \sigma (m)}
m
{\displaystyle m}
Функція Ейлера
φ
(
m
)
{\displaystyle \varphi (m)}
Функція Мебіуса
μ
(
m
)
{\displaystyle \mu (m)}
Функція
φ
(
m
)
m
{\displaystyle {\frac {\varphi (m)}{m}}}
Степенева функція
∀
n
∈
N
,
Id
k
(
n
)
=
n
k
{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\operatorname {Id} _{k}(n)=n^{k}}
константи
∀
n
∈
N
,
1
(
n
)
=
1
{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,1(n)=1}
тотожної функції
∀
n
∈
N
,
Id
(
n
)
=
n
{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\operatorname {Id} (n)=n}
n
↦
(
n
p
)
{\displaystyle n\mapsto \left({\frac {n}{p}}\right)}
символ Лежандра , як функція від n , при заданому простому числі p.
Якщо
f
(
m
)
{\displaystyle f(m)}
g
(
m
)
=
∑
d
|
m
f
(
d
)
{\displaystyle g(m)=\sum _{d|m}f(d)}
також буде мультиплікативною. Навпаки, якщо функція
g
(
m
)
{\displaystyle g(m)}
f
(
m
)
{\displaystyle f(m)}
Більш того, якщо
f
(
m
)
{\displaystyle f(m)}
g
(
m
)
{\displaystyle g(m)}
згортка Діріхле
h
(
m
)
=
∑
d
|
m
f
(
d
)
g
(
m
d
)
{\displaystyle h(m)=\sum _{d|m}f(d)g\left({\frac {m}{d}}\right)}
Це випливає з того, що довільне число d , що ділить добуток двох взаємно простих чисел n і m однозначно записується як d =d 1 .d 2 , де d 1 — дільник числа n , d 2 — дільник числа m .
Тоді з визначень можна записати
(
f
∗
g
)
(
n
⋅
m
)
=
∑
d
|
n
m
f
(
d
)
g
(
n
m
d
)
=
∑
d
1
|
n
∑
d
2
|
m
f
(
d
1
d
2
)
g
(
n
d
1
⋅
m
d
2
)
{\displaystyle (f*g)(n\cdot m)=\sum _{d|nm}f(d)g\left({\frac {nm}{d}}\right)=\sum _{d_{1}|n}\sum _{d_{2}|m}f(d_{1}d_{2})g\left({\frac {n}{d_{1}}}\cdot {\frac {m}{d_{2}}}\right)}
Якщо f і g — мультиплікативні функції то :
(
f
∗
g
)
(
n
⋅
m
)
=
∑
d
1
|
n
∑
d
2
|
m
f
(
d
1
)
f
(
d
2
)
g
(
n
d
1
)
g
(
m
d
2
)
{\displaystyle (f*g)(n\cdot m)=\sum _{d_{1}|n}\sum _{d_{2}|m}f(d_{1})f(d_{2})g\left({\frac {n}{d_{1}}}\right)g\left({\frac {m}{d_{2}}}\right)}
(
f
∗
g
)
(
n
.
m
)
=
[
∑
d
1
|
n
f
(
d
1
)
g
(
n
d
1
)
]
⋅
[
∑
d
2
|
m
f
(
d
2
)
g
(
m
d
2
)
]
{\displaystyle (f*g)(n.m)=\left[\sum _{d_{1}|n}f(d_{1})g\left({\frac {n}{d_{1}}}\right)\right]\cdot \left[\sum _{d_{2}|m}f(d_{2})g\left({\frac {m}{d_{2}}}\right)\right]}
(
f
∗
g
)
(
n
⋅
m
)
=
(
f
∗
g
)
(
n
)
⋅
(
f
∗
g
)
(
m
)
{\displaystyle (f*g)(n\cdot m)=(f*g)(n)\cdot (f*g)(m)}
Відносно згортки Діріхле мультиплікативні функції утворюють абелеву групу, нейтральним (одиничним) елементом якої є функція:
ε
(
n
)
=
{
1
n
=
1
0
n
≠
1
{\displaystyle \varepsilon (n)={\begin{cases}1&n=1\\0&n\neq 1\end{cases}}}
![{\displaystyle (f*g)(n.m)=\left[\sum _{d_{1}|n}f(d_{1})g\left({\frac {n}{d_{1}}}\right)\right]\cdot \left[\sum _{d_{2}|m}f(d_{2})g\left({\frac {m}{d_{2}}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a53b7e06f50aa1ba9baa71fee748bdbd2849c270)
