Відкрити головне меню

У теорії чисел, мультиплікативна функціяарифметична функція , така що

для будь-яких взаємно простих чисел і

При виконанні першої умови, вимога рівносильно тому, що функція не рівна тотожно нулю.

Слід зазначити, що поза теорією чисел під мультиплікативною функцією розуміють будь-яку функцію , визначену на деякій множині , таку що

для довільних .

У теорії чисел такі функції, тобто функції , для яких умова мультиплікативності виконана для всіх натуральних , називаються цілком мультиплікативними.

Мультиплікативна функція називається сильно мультиплікативною, якщо

для всіх простих і всіх натуральних .

Зміст

ПрикладиРедагувати

  • Функція   — число натуральних дільників натурального  .
  • Функція   — сума натуральних дільників натурального  .
  • Функція Ейлера  .
  • Функція Мебіуса  .
  • Функція   є сильно мультиплікативною.
  • Степенева функція   є цілком мультиплікативною. Зокрема це ж стосується і її важливих часткових випадків
    • константи  
    • тотожної функції  
  •  символ Лежандра, як функція від n, при заданому простому числі p.

ВластивостіРедагувати

Якщо   — мультиплікативна функція, то функція

 

також буде мультиплікативною. Навпаки, якщо функція  , визначена цим співвідношенням є мультиплікативною, то і початкова функція   також мультиплікативна.

Більш того, якщо   і   — мультиплікативні функції, то мультиплікативною буде і їх згортка Діріхле

 

Це випливає з того, що що довільне число d, що ділить добуток двох взаємно простих чисел n і m однозначно записується як d=d1.d2, де d1 — дільник числа n, d2 — дільник числа m. ТОді з визначень можна записати

 .

Якщо f і g — мультиплікативні функції то :

 ,
 ,
 .

Відносно згортки Діріхле мультиплікативні функції утворюють абелеву групу, нейтральним (одиничним) елементом якої є функція:

 

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати