Функція Мебіуса  — мультиплікативна функція, яку застосовують у теорії чисел і комбінаториці, названа на честь німецького математика Мебіуса, який вперше розглянув її у 1831 р.

ОзначенняРедагувати

  визначена на множині всіх натуральних чисел   і набуває значення   в залежності від вигляду розкладання числа   на прості множники:

  •  , якщо  ;
  •  , якщо   ділиться на квадрат простого числа;
  •  , якщо канонічний розклад   має вигляд  , де прості множники різні.

Властивості й застосуванняРедагувати

Функція Мебіуса мультиплікативна: для довільних взаємно простих чисел   і   виконується рівність

 

Сума значень функції Мебіуса по всім дільникам цілого числа   дорівнює нулю:

 

Звідси, зокрема, випливає, що для довільної непорожньої скінченної множини кількість різних підмножин, які містять непарне число елементів, дорівнює кількості різних підмножин, які містять парне число елементів — факт, який застосовується у формулі обертання Мебіуса.

Функція Мебіуса пов'язана з функцією Ейлера   таким співвідношенням:

 

де в правій частині перераховуються всі дільники числа  .

Обернення МебіусаРедагувати

Перша формула обернення МебіусаРедагувати

Для арифметичних функцій   і  ,

 

тоді і тільки тоді, коли

 .

Цю рівність також називають принципом обернення Дедекінда-Ліувілля на честь німецького математики Ріхарда Дедекінда (1831—1916) та французького математика Жозефа Ліувілля (1809—1882).

Друга формула обернення МебіусаРедагувати

Для дійснозначних функцій   і  , визначених при  ,

 

тоді і тільки тоді, коли

 .