Степенева функція

Степене́ва функція — функція вигляду $f(x)=x^{a}\!\$, де a — показник степеню, дійсне число.

Властивості

Область визначення: $(0,\infty )$ при $a<0$, $[0,\infty )$ при $a>0$.

При натуральних показниках степеня $a$ область визначення розширюється на всю числову вісь: $(-\infty ,\infty )$.

Область значень: $(0,\infty )$ при $a<0$, $[0,\infty )$ при $a>0$.

Монотонно спадає при $a<0$, монотонно зростає при $a>0$. При а > 0 функція має єдиний нуль в точці x= 0. Точок перетину не має.

При $a<0$ має особливу точку при $x=0$.

Похідна

$\left(x^{a}\right)^{\prime }=ax^{a-1}$

Невизначений інтеграл

$\int x^{a}dx={\frac {x^{a+1}}{a+1}}+C$

Аналітичне продовження

Степенева функція комплесного агрумента

$f(z)=z^{a}\,$

аналітична (голоморфна) всюди, окрім точки z = 0 при нецілих значеннях показника $a$.

При раціональному показнику $a=p/q$, де $p$ та $q$ — цілі числа, функція визначається на рімановій поверхні із q листів, розріз проводиться вздовж півосі $x={\text{Re }}\ z>0$.

Таким чином, якщо скористатися представленням комплексного числа в експоненційній формі,

$z=re^{i\varphi }\,$,

то $\varphi$ змінюється від 0 до $2\pi q$.

$f(z)=z^{a}=r^{a}e^{ip\varphi /q}\,$.

Для дійсного a — кількість ріманових листів безмежна.

Див. також

• Аналітичне продовження

Посилання

• Основні елементарні функції // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 177. — 594 с.