В математиці, згортка Діріхлебінарна операція визначена для арифметичних функцій, що широко використовується в теорії чисел. Названа на честь німецького математика Діріхле.

ВизначенняРедагувати

Якщо ƒ і g — арифметичні функції, можна визначити нову арифметичну функцію ƒ * g, згортку Діріхле функційƒ і g,

 

де сума береться по всіх дільниках d числа n.

ПрикладиРедагувати

Приклад 1Редагувати

Визначимо функцію   наступним чином:

 

Визначимо тепер згортку Діріхле функції   і деякої арифметичної функції  

 

Приклад 2Редагувати

Нехай функції   і   визначені наступним чином:

 
 

Знайдемо значення згортки Діріхле для аргументу  :

 

ВластивостіРедагувати

Множина арифметичних функцій утворює комутативне кільце, щодо операцій поточкового додавання і згортки Діріхле, де мультиплікативною одиницею є функція δ, що визначається δ(n) = 1 якщо n = 1 і δ(n) = 0, якщо n > 1.

Оборотними елементами цього кільця є арифметичні функції f для яких f(1) ≠ 0. Згортка Діріхле задовольняє такі властивості:

Згортка Діріхле двох мультиплікативних функцій є мультиплікативною функцією. Кожна мультиплікативна функція має обернену Діріхле, що теж є мультиплікативною функцією.

Обертання ДіріхлеРедагувати

Для арифметичної функції ƒ, рекурсивна формула для обчислення оберненої Діріхле має вигляд:

 

для n > 1,

 

Коли ƒ(n) = 1 для всіх n, тоді оберненою функцією є ƒ −1(n) = μ(n) — функція Мебіуса.

Ряди ДіріхлеРедагувати

Якщо f — арифметична функція, відповідні їй ряди Діріхле визначаються формулою

 

для тих комплексних аргументів s для яких ряд збігається.При цьому виконується рівність:

 

для всіх s для яких обидва ряди зліва є збіжними, причому принаймні один абсолютно.

ЛітератураРедагувати

  • Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3
  • Hugh L. Montgomery; Robert C. Vaughan (2007). Multiplicative number theory I. Classical theory. Cambridge tracts in advanced mathematics. 97. Cambridge: Cambridge Univ. Press. ISBN 0-521-84903-9.