Уявна одиниця  — число, що при піднесенні до квадрата дає від'ємну одиницю:

i на комплексній або декартовій площині. Дійсні числа знаходяться на горизонтальній осі, а уявні числа на вертикальній осі.
Уявна одиниця
Числове значення 1 уявна одиниця
Формула [1]
Позначення у формулі і
Підтримується Вікіпроєктом Вікіпедія:Проєкт:Математика
Обернений елемент -id і -id
Протилежне -id

Уявна одиниця не належить полю дійсних чисел, однак дає можливість розширити його до поля комплексних чисел.

Уявна одиниця є одним з двох розв'язків квадратного рівняння x2 + 1 = 0. Хоча не існує такого дійсного числа що мало б таку властивість, i використовують для розширення дійсних чисел до множини, що називається комплексними числами, і використовувати додавання і множення. Прикладом використання i для утворення комплексного числа є такий запис: 2 + 3i.

Уявна одиниця та від'ємна уявна одиниця

ред.

Наведене вище рівняння має два розв'язки. Якщо один з них є  , то іншим розв'язком буде  , бо справджується така рівність:

 

Таким чином, виникає неоднозначність означення комплексного числа. Проте, хоча ці два числа не рівні між собою, для математики не існує різниці у тому, який саме з двох розв'язків рівняння   позначатиметься  , а яке  .

Степені уявної одиниці

ред.

Степені   повторюються в циклі:

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Що можна записати для будь-якого степеня у вигляді:

 
 
 
 

де n — будь-яке натуральне число.

Звідси:   де mod 4 — це остача від ділення на 4.

Число   є дійсним:

 

Факторіал

ред.

Факторіал уявної одиниці i можна визначити як значення гамма-функції від аргументу 1 + i:

 

Також

 [2]

Корені з уявної одиниці

ред.

В полі комплексних чисел корінь n-го степеня має n розв'язків. На комплексній площині корені уявної одиниці містяться у вершинах правильного n-кутника, вписаного в коло одиничного радіуса.

 

Це випливає з формули Муавра й того, як уявна одиниця записується у тригонометричному вигляді:

 

Зокрема,   та  

Також корені уявної одиниці можуть бути представлені за допомогою експоненти:

 

Див. також

ред.

Примітки

ред.

Література

ред.
  • Кантор И. Л., Солодовников А. С. Гиперкомплексные числа. — Москва : Наука, 1973. — 144 с.(рос.)
  • Лаврентьев М. А, Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — Москва : Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1973. — 736 с.(рос.)